#4863. 矩阵

Posted 2020-12-09 xjqxjq

#### 题目描述

有一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵，你可以选择一些位置涂黑，其它位置涂白。

对一个矩阵，我们计算出一个长度为 $N$ 的序列 $A$ ，以及两个长度为 $M$ 的序列 $B$ 和 $C$ ：

令 $A_i$ 为第 $i$ 行第一次出现黑色的位置的列号，如果第 $i$ 行全白，则为 $M+1$ ；

令 $B_i$ 为第 $i$ 列第一次出现黑色的位置的行号，如果第 $i$ 列全白，则为 $N+1$ ；

令 $C_i$ 为第 $i$ 列最后一次出现黑色的位置的行号，如果第 $i$ 列全白，则为 $0$ ；

请你计算，有多少种不同的 ${A,B,C}$ 三元组可能得到，输出答案对 $998244353$ 取模后的结果。

#### 数据范围

$1 leq N leq 8000$,$1 leq M leq 200$ 。

#### 题解

为什么有个 $m le 3$ 的部分分。。算了我本来就菜。

假设我们一开始每个格子都任意染色，那我们考虑什么时候两个染色方案的这三个数组相同。发现当存在一个点，它的左、上、下同时存在黑色格子的话，那这个点去掉后数组不会改变。所以根据这个我们可以进行 $ ext{dp}$ ： $f[i][j]$ 表示前 $j$ 列有 $i$ 行有黑色点的方案数，考虑转移到 $f[i+k][j+1]$ 。当 $k=0$ 的时候，就只能加入 $0 sim 2$ 个点，转移显然。当 $k>0$ 的时候，考虑那 $i+k$ 个当中第一个是新插入的在第 $x$ 个，最后一个新插入的从后往前是第 $y$ 个，而第 $x$ 之前和 $y$ 之后分别最多能够重合一个点，所以它的转移系数应当是 $sum_{x=1}^{i+1}sum_{y=1}^{i-x+2}C_{i+k-x-y}^{k-2} imes x imes y$ ，用组合数的性质可以推到这个系数为 $C_{i+k+2}^{k+2}$ 。然后发现这个转移是卷积的形式，所以用 $ ext{Ntt}$ 优化即可。效率： $O(nmlog n)$ 。