[知识点] 8.3 最小生成树

Posted 2020-12-08 jinkun113

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前言

树与图的紧密联系通过这一部分的内容就很好诠释了！名为生成树，实为图上问题，可以理解为由一张图生成一棵树。

子目录列表

1、连通图与生成树

2、最小生成树

3、Kruskal 算法

4、Prim 算法

 

8.3 最小生成树

1、连通图与生成树

在 8.1  图的简介与相关概念 中，已经介绍了连通性相关的各类概念。这里以无向图为例，对连通性问题进行展开。

一个有 n 个结点的无向连通图，其生成树包含图中的全部 n 个结点，但只有 n - 1 条边，使其刚好构成一棵无根树。在生成树上添加任意一条边，都会使得构成一个环，而不再是树。根据定义，一张图的生成树往往不止一棵，比如：

右图的 8 棵树均是左图的生成树。

当且仅当无向图为连通图时，遍历只需要从任一顶点出发即可遍历全图，而非连通图，遍历次数等于其连通分量的个数。

非连通图显然不存在生成树，而存在生成森林 —— 由若干棵生成树组成的森林，棵数位连通分量个数。

 

2、最小生成树

概念：对于无向赋权连通图，其所有的生成树中边权之和最小的生成树称之为最小生成树（MST, Minimum Spanning Tree）。

比如在上图中，图 e 即为左图的最小生成树，其边权和为 14。那么什么情况下需要这样的最小生成树呢？

【SCOI2005】【繁忙的都市】

城市 C 是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。城市 C 的道路是这样分布的：城市中有 n 个交叉路口，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。这些道路是双向的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值，分值越小表示这个道路越繁忙，越需要进行改造。但是市政府的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的要求：

(1) 改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。
(2) 在满足要求 (1) 的情况下，改造的道路尽量少。
(3) 在满足要求 (1)、(2) 的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。
任务：作为市规划局的你，应当作出最佳的决策，选择那些道路应当被修建。

 

题目说了一大通，本质就是对一张有 n 个点的无向赋权连通图求最小生成树。构造最小生成树有很多种方法，下面介绍最常用的 Kruskal 克鲁斯卡尔算法和 Prim 普利姆算法。

 

3、Kruskal 算法

① 思路

Kruskal 算法是图论问题中少有的需要使用边存储的方式存图的算法。

将所有边按照边权从小到大排序，初始默认图中没有任何边，每次取出当前边权最小的边，如果加上该边没有构成环，则加；如果构成环，则跳过这条边，直到加入 n - 1 条边，即形成了最小生成树。

② 证明

略。

③ 实现

根据思路，每次加边需要判断是否会构成环，即等价于该边的两个结点是否已经连通，等价于两个结点是否已经已经在同一棵树中，这个过程需要使用并查集（请参见：<施工中>）来维护即可。

使用 O(m log m) 的排序算法与 O(m log n) 的并查集，总时间复杂度为 O(m log m)。

④ 代码

 

4、Prim 算法

① 思路

初始默认图中只有任意一个结点，将结点分为两个集合：已加入的，未加入的，初始只有一个结点在已加入集合中。每次从未加入的结点中，找到一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点，将其加入到图中，并连上这条边权最小的边，直到加入了 n - 2 个结点，即形成了最小生成树。

② 证明

略。

③ 实现

根据思路，每次加点需要找到边权最小的边，可以暴力找也可以使用堆维护。

暴力的话总时间复杂度为 O(n ^ 2 + m)，使用二叉堆为 O((n + m) log n)，使用斐波那契堆为 O(n log n + m)。

④ 代码