浅说——最小生成树

Posted 2022-01-08 mzyczly

图论基础知识

设有图G(V,E).

w(u,v)表示边(u,v)的权。

生成树是G的极小连通子图，它包含原图的n个点和n-1条边，且是连通的。

若存在树T，使得边权之和W(T)最小，则T为最小生成树。

例：（来了来了…）

要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信。

但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同。

次要目标是要使铺设光缆的总费用最低。

 这里讲两种方法：

Kruskal算法（克鲁斯卡尔）：贪心策略，不断加边

Prim算法（普里姆）：贪心策略，不断加点

Kruskal算法：

先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图。（开始加边）

之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取（已经到过了）

而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

从最短边开始加，若未经历节点，则加入树。

度娘

伪代码

 

sort(e+1,e+m+1);
初始化MST=NULL;
初始化各点各自为一个集合；
for(int i=0;i<m;i++)

if(e[i].u和e[i].v不在一个集合)

将e[i]加入MST；
合并e[i].u和e[i].v所在的集合;

该算法中关键在于解决判断u，v是否在同一集合和将其合并的操作，这里我们使用一种简单高效的方法：并查集。

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些点所在集合的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

算法步骤

初始化：把每个点所在集合初始化为其自身。

查找：查找元素所在的集合，即根节点。

合并：将两个元素所在的集合合并为一个集合。合并之前，应先判断两个元素是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

void chushi()
//初始化
for(int i=0;i<n;i++)father[i]=i;


int find(int x)
//查找
if(father[x]==x)return x;
return father[x]=find(father[x]);
//路径压缩

void unionset(int x,int y)//合并

 int fx=find(x);//查找x的所在树的根
 int fy=find(y);//查找y的所在树的根
 if(fx!=fy)father[fx]=fy;//将x所在集合与y所在集合合并

自己拿演草纸推论一下就出来了

RQ193 造路行动

模板题：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,m,ans;
int fa[maxn];
struct edge
    int x,y,v;
e[maxn*maxn];
int find(int x)

    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);

bool cmp(struct edge a,struct edge b)

    return a.v<b.v;

void kruskall()

    int cnt=0;
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        if(cnt==n-1) break;        
        int fx=find(e[i].x);
        int fy=find(e[i].y);
        if(fx!=fy)
        
            fa[fx]=fy;            
            cnt++;
            ans+=e[i].v;
                
    
    printf("%d",ans);

int main()

    int x,y,a;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&a);
        e[i].x=x;
        e[i].y=y;
        e[i].v=a;            
    
    kruskall();
    return 0;