数据结构 最小生成树——什么是最小生成树？

Posted 2021-02-07 tfls-gzr

　　小编近日翻书，看见最小生成树问题，小编表示茫然不知最小生成树是干什么，看字面意思猜最小生成树就是自己造一棵树呗，然后，然后……就不知道有什么用处了；听着这个名字就一直当做是一种关于树的知识，没想到竟然和图也有关系，什么关系呢？又要用在何处呢？说来话长……

最小生成树的概念：

　　这个概念可是很难说啊，光看一堆百度上枯燥的文字倒不用说了，这得从一个情景导入：假设你是XX探险队的大队长，有一天你突发奇想要在各个探险营地放上一个无线通信设备（有时在诸如北极的地区通信是件麻烦事），这个通信设备还受到距离要求，最大距离越远就造价越高，现在你要干的工作就是用最少的钱让每一个探险营地都能直接/间接地与其他任何一个营地通讯。随便画张图加深理解：

　　接着再看一幅图：

　　这幅图相比来说有了权值，放在之前我现编的故事中则是每两营地之间通信所要画的钱；随便画出了个图，图也有了，故事也有了，怎么算呢？不着急，先来说几个问题：假设这图里一共有n个顶点，那一共有多少条边呢，谁也不知道，数据样例组数可多的呢，但要说起连接这n个顶点最少会有几条边呢？当然是n-1条边；既然要通信，还可以间接，比如1传给2，2传给3，那么1，3之间也可以通信，那有何必要回路呢？没有回路的图就不是真正的图，没有回路的图那不就是树吗？所以这才叫最小生成树；“最小生成树”这个名字得分开看，拆成“最小”和“生成树”，先讲一讲什么是生成树：生成树要满足图中的n个顶点都在生成的树中，且生成树必须是一颗树，不允许有回路，那么问题来了，生成树是唯一的吗？不是！如下图所示，红色部分点亮的边为生成树的边，这几幅图都是生成树，可见生成树是不唯一的，在故事中求的是最小花费，所以才引来了最小二字；紧接着，咱们来说一说什么是最小？这个相对来说更容易理解，说白了就是在所有生成树中挑一棵权值和最小的，但是，最小生成树是唯一的吗？不一定！假如一棵树所有边权值都一样，我才不信只有一个最小生成树呢！忘了强调一点，求最小生成树的前提是这个图是联通图，假设有一点与其他点没有连边，就不可能凑够n-1条边那么了解了最小生成树是什么，但是又能适用于哪些问题呢？就像小编最初现编的故事一样，要求最小权重的题。

　　

　　了解了什么是最小生成树及其用处，那么如何计算最小生成树，又要用什么算法？欲知后事如何，且听下回分解。