礼物的最大价值问题

Posted 2020-12-08 cs0915

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

 示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
 提示：

0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

 

思路：设f(i,j)为棋盘左上角走至单元格（i,j)的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i,j)等于f(i,j-1)和f(i-1,j)中的较大值者加上当前单元格礼物价值grid(i,j)。

即f(i,j)=max[f(i,j-1),f(i-1,j)]+grid(i,j)

当i=0且j=0时，为起始元素；

当i=0且j!=0时，为矩阵第一行元素，只课从左边到达；

当i!=0且j=0时，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；

当i!=0且j!=0时，可从左边或上边到达。

 

具体实现的时候不是使用递归，因为这样时间复杂度会很大。这里使用动态规划，从grid[0][0]到grid[m-1][n-1]不断修正元素，最后返回grid[m-1][n-1]。修正后的grid[i][j]表示从左上角元素到[i][j]这个元素的最大价值。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
 4         int m=grid.size();
 5         int n=grid[0].size();
 6         int value(0);
 7         for(int i=0;i<m;i++)
 8         {
 9             for(int j=0;j<n;j++)
10             {
11                 if(i==0&&j==0) continue;
12                 if(i==0) grid[i][j]+=grid[i][j-1];
13                 else if(j==0) grid[i][j]+=grid[i-1][j];
14                 else
15                 {
16                    value=grid[i-1][j]>grid[i][j-1]?grid[i-1][j]:grid[i][j-1];
17                    grid[i][j]+=value;
18                 }
19             }
20         }
21         return grid[m-1][n-1];
22     }
23 };