TopCoder SRM 701 FibonacciStringSum

Posted 2020-12-08 grice

题意

定义"Fibonacci string"为没有连续1的01串。现在，给出a,b，定义一个"Fibonacci string"的权值为(y^bx^a)，其中(x)为(0)的个数，(y)为(1)的个数。
要求对所有长度为n的"Fibonacci string"的权值求和，对(10^9+7)取模。
(n≤10^9, a,b≤25)

做法

显然(Ans=sum_{k=0}^n {n-k+1 choose k} k^b (n-k)^a)
考虑矩阵快速幂，矩阵内要存(n-1,n-2)的(i,j(ile b,jle a))，边长(O(ab))的，显然过不去

(egin{aligned} &sum_{k=0}^n {n-k+1 choose k} k^b (n-k)^a &= sum_{j=0}^a {a choose j} (-1)^jk^j sum_{k=0}^n {n-k+1 choose k}k^{b} end{aligned})

这样边长就是(O(b))的了