对求多元函数微分的理解

Posted 2020-12-07 -asurada-

例如：求e^(x+2y+3z)+xyz=1 求dz 　　　　　　　　　　　　(可确定z=z(x,y)函数)

方法1：对两边求微分得 e^(x+2y+3z)d(x+2y+3z)+d(xyz)=0

该方法使用了微分形式得不变性,也就是说此时这个式子在求微分的时候不用管谁是谁得函数，将自变量和应变量一视同仁，看作是平等的量

为了好理解可以令u=x+2y+3z 原式=d(e^u)+d(xyz)=0

　　　　　　　　　　　　　　　e^ud(u)+d(xyz)=0

　　　　　　　　　　　　　　　　e^(x+2y+3z)d(x+2y+3z)+d(xyz)=0

此时利用微分的四则运算可得e^(x+2y+3z)(dx+2dy+3dz)+xydz+yzdx+xzdy=0（原题目求具体每一点的值，可以带入求得）

 

或者此时可用全微分公式进行求解d(xyz)=dx*偏导x+dy*偏导y(把z看作xy的函数，不能简单的求x偏导把yz看作常数，此时计算复杂)

 

d(xyz)=dx*偏导x+dy*偏导y+dz*偏导z(此时不把z看作xy的函数)

 

方法2：利用全微分公式求得z对x，y的偏导，代入求解（为隐函数求导）

可以直接套用公式-Fx/Fz，但是本身此公式就是通过对方程F求x偏导反解得到的，因此可以直接对F求偏导（此时需要把z看作xy的函数（因为想得到z对x的偏导，所以此时必须把z看作xy的函数））

 

总结：方法1一般不把z看作xy函数

方法2求偏导是把z看作xy函数