高等数学基础进阶常微分方程-补充 & 多元函数微分学-补充

Posted 2022-10-24

一阶微分方程

 

 

微分方程求解

例8：微分方程$ydx+(x-3y^2)dy=0$满足条件$y \\Big|_x=1^=1$的解为$y=()$

 

 

设$y=f(x)$，即有$g(x,y)=0$，依据题意，由于

$$

\\frac\\partial y\\partial y=1,\\frac\\partial z-3y^2\\partial x=1

$$

因此可以用偏积分的方式

$$

\\beginaligned

dg(x,y)&=ydx\\

\\int\\limits_dg(x,y)&=\\int\\limits_ydx\\

g(x,y)&=xy+\\phi(y)\\

&代入另一个\\

\\frac\\partial g(x,y)\\partial y&=x+\\phi(y)=x-3y^2\\

\\phi(y)&=-3y^2\\

\\phi(y)&=-y^3

\\endaligned

$$

因此可得

$$

g(x,y)=xy-y^3=0

$$

有

$$

y=0或y=\\sqrtx

$$

又因为$\\beginaligned y \\Big|_x=1^=1\\endaligned$，因此$y=\\sqrtx$

 

高阶偏导数

定理：如果函数$z=f(x,y)$的两个混合偏导数在区域$D$/某点内连续，则在该区域内/该点

$$

\\frac\\partial^2 z\\partial x \\partial y=\\frac\\partial^2 z\\partial y \\partial x

$$

 

 

全微分

定义：如果函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全增量

$$

\\Delta z=f(x_0+\\Delta x,y_0+\\Delta y)-f(x_0,y_0)

$$

可表示为

$$

\\Delta z=A \\Delta x+B \\Delta y+o(\\rho)

$$

其中$A,B$与$\\Delta x,\\Delta y$无关，$\\rho=\\sqrt(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，而$A \\Delta x+B \\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分，记为

$$

dz=A \\Delta x+B \\Delta y

$$

如果$f(x,y)$在区域$D$内的每一点$(x,y)$都可微分，则称$f(x,y)$在$D$内可微分

 

偏导数计算

 

可导与可微

$\\beginaligned f(x,y)=\\left\\beginaligned& \\fracxy\\sqrtx^2+y^2&(x,y)\\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\\endaligned\\right.\\endaligned$在$(0,0)$点可导，但不可微

 

$$

\\beginaligned

f_x(0,0)&=\\lim\\limits_\\Delta x \\to 0\\frac\\Delta x \\cdot 0\\sqrt(\\Delta x)^2=1\\

f_y(0,0)&=1

\\endaligned

$$

显然可导

$$

\\beginaligned

&\\lim\\limits_\\substack\\Delta x \\to 0\\ \\Delta y\\to 0\\frac\\frac\\Delta x \\Delta y\\sqrt(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2-0-(1\\cdot \\Delta x+1\\cdot \\Delta y)\\sqrt(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2\\

=&\\lim\\limits_\\substack\\Delta x \\to 0\\ \\Delta y\\to 0\\frac\\Delta x \\Delta y-(\\Delta x+\\Delta y)\\sqrt(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2\\

=&\\lim\\limits_\\substack\\Delta x\\to 0\\ \\Delta y=k \\Delta x\\frac[k-(k+1)\\sqrtk^2+1]  (\\Delta x)^2(k^2+1)(\\Delta x)^2\\ne 0

\\endaligned

$$

显然不可微

 

全微分形式的不变性

设函数$z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$都有连续的一阶偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$的全微分

$$

\\beginaligned

dz&=\\frac\\partial z\\partial xdx+\\frac\\partial z\\partial yy=\\frac\\partial z\\partial udu+\\frac\\partial z\\partial vdv

\\endaligned

$$

 

 

隐函数微分法

 

由方程组

$$

\\left\\beginaligned&F_1(x,y,u,v)=0\\&F_2(x,y,u,v)=0\\endaligned\\right.

$$

确定的隐函数$u=u(x,y),v=(x,y)$

若要求$\\beginaligned \\frac\\partial u\\partial x,\\frac\\partial u\\partial y,\\frac\\partial v\\partial x,\\frac\\partial v\\partial y\\endaligned$，可以将每个方程分别对$x$求偏导数，得出以$\\beginaligned \\frac\\partial u\\partial x,\\frac\\partial v\\partial x\\endaligned$为变量的方程组，可解得$\\beginaligned \\frac\\partial u\\partial x,\\frac\\partial v\\partial x\\endaligned$。同样，将每个方程分别对$y$求偏导数，可以得出以$\\beginaligned \\frac\\partial u\\partial y,\\frac\\partial v\\partial y\\endaligned$为变量的方程组，解之可得$\\beginaligned \\frac\\partial u\\partial y,\\frac\\partial v\\partial y\\endaligned$

 

隐函数的偏导

 

 

例6：已知$u+e^u=xy$，求$\\beginaligned \\frac\\partial u\\partial x,\\frac\\partial u\\partial y,\\frac\\partial^2 u\\partial x \\partial y\\endaligned$