[SCOI2009]粉刷匠(分组背包)
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Problem
windy有 N 条木板需要被粉刷。 每条木板被分为 M 个格子。 每个格子要被刷成红色或蓝色。
windy每次粉刷,只能选择一条木板上一段连续的格子,然后涂上一种颜色。 每个格子最多只能被粉刷一次。
如果windy只能粉刷 T 次,他最多能正确粉刷多少格子?
一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色,就算错误粉刷。
Solution
很容易发现这是一道背包问题。
我们发现一共有n条木板,每个木板之间没有关系,所以我们可以想到用分组背包。
设子状态$dp[i][j]$代表处理到第i组刷j次最多能粉刷对多少格子。
有组之间的转移方程$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k]+val(i,k))$
其中$val(i,k)$代表第i个木板刷k次所能刷对的最多格子数。
现在考虑如何求出$val(i,k)$。我们发现只有一维次数是肯定不行的,得再加一维代表刷1-j的格子。
所以我们得到了组内价值的子状态:$f[i][j][k]$代表刷第i个木板的1-i,刷k次能刷对的最大格子数,显然i那一维是可以省略的。
有转移方程$f[j][k] = max(f[j][k], f[l][k-1]+max(val2(l+1, j, 1), val2(l+1, j, 0)))$,其中$val2(x, y, u)$代表从x到y全部刷u能刷对的最大格子数。
val2可以用前缀和做到。
然后这道题就迎刃而解了。
Code
/* dp[i][j] 代表前 i 个木板,粉刷 j 次可以粉刷正确的次数 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k]+f[m][k]); 这里又要引入一个数组 f f[i][j] 代表位置从 1 到 i 粉刷 j 次的最大粉刷正确次数 对于每一组 f 都是不一样的,要从新求 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; int N, M, T; char s[55]; int dp[55][2510]; int f[55][55]; int sum[55]; int ans; int main() { scanf("%d%d%d", &N, &M, &T); for (int i = 1; i <= N; i++) { scanf("%s", s + 1); for (int j = 1; j <= M; j++) { sum[j] = sum[j - 1] + s[j] - ‘0‘; } //因为每个格子只能被刷一遍,所以每次被刷的次数只会到 m for (int t = 1; t <= M; t++) { for (int j = 1; j <= M; j++) { f[j][t] = 0;//初始化为 0 for (int k = 0; k < j; k++) { //计算 f[j][t] f[j][t] = max(f[j][t], f[k][t - 1] + max((sum[j] - sum[k]), j - k - (sum[j] - sum[k]))); } } } for (int t = 1; t <= T; t++) { for (int j = 1; j <= min(M, t); j++) { dp[i][t] = max(dp[i][t], dp[i - 1][t - j] + f[M][j]); ans = max(ans, dp[i][t]); } } } cout << ans; return 0; }
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