Splay（伸展树分裂树）：平衡二叉搜索树中功能最丰富的树
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Splay（伸展树分裂树）：平衡二叉搜索树中功能最丰富的树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
这是我第一篇对高级数据结构的描述，如有不准确的地方还请指出，谢谢~
调这颗树的代码调的头皮发麻，和线段树根本不是一个难度的。
首先简单地介绍一下这棵平衡BST中的另类
这是一棵没有任何平衡因子的BST，它依靠均摊来达到O（logn）的插入查询和删除复杂度，常数比较大
而且，它的具有其他BST所不具备的，对于子树的任意分裂和合并的功能
下面我从定义讲起，剖析这棵树实现过程中的每一个细节
const int INF=1000000000; const int maxn=1000005; int n,m; int a[maxn]; struct Tree { int fa,ch[2]; int size; int v,sum,mx,lx,rx; bool tag,rev; }t[maxn]; int node[maxn]; int root; int cnt=0; queue<int> q;
定义部分，注意INF如果太大可能会有越界的危险，所以这里长了个教训
树中包含n个点，对于树中的每一个点，有如下定义：
fa里存父节点的ID，ch[]里存左右孩子的ID，size里存该节点所形成子树包含的总节点个数
v表示节点的值，sum表示该节点所形成子树的值的和
mx,lx,rx是需要维护的一个关系，其中：
mx是当前子树的最大子串和
lx是当前子树以左端点为起点，向右延伸的最大子串和，rx同理（这里的实现思路类似于SCOI2010的线段树的那道题）
tag是区间重置标记，rev是区间翻转标记，区间即子树
q是一个垃圾回收的缓冲数组，将在后面介绍
建树部分：
void buildtree(int l,int r,int f) { if(l>r) return; int mid=(l+r)>>1; int o=node[mid]; int last=node[f]; if(l==r) { t[o].sum=a[l]; t[o].size=1; t[o].tag=t[o].rev=0; if(a[l]>=0) t[o].lx=t[o].rx=t[o].mx=a[l]; else { t[o].lx=t[o].rx=0; t[o].mx=a[l]; } } else { buildtree(l,mid-1,mid); buildtree(mid+1,r,mid); } t[o].v=a[mid]; t[o].fa=last; update(o); t[last].ch[mid>=f]=o; }
依然是递归建树，由于是均摊的，根节点只要从中间随便找一个就好了
这里可以类比线段树的建树过程，比线段树稍微复杂一些
建树过程中用到了一个函数update:
void update(int o) { int l=t[o].ch[0],r=t[o].ch[1]; t[o].sum=t[l].sum+t[r].sum+t[o].v; t[o].size=t[l].size+t[r].size+1; t[o].mx=max(t[l].mx,t[r].mx); t[o].mx=max(t[o].mx,t[l].rx+t[o].v+t[r].lx); t[o].lx=max(t[l].lx,t[l].sum+t[o].v+t[r].lx); t[o].rx=max(t[r].rx,t[r].sum+t[o].v+t[l].rx); }
它的作用是随着子树的建立随时去更新子树根节点所维护的那些值
接下来介绍插入操作，它可以在特定位置插入tot个元素：
void insert(int k,int tot) { for(int i=1;i<=tot;i++) cin>>a[i]; for(int i=1;i<=tot;i++) if(!q.empty()) { node[i]=q.front(); q.pop(); } else { node[i]=++cnt; } buildtree(1,tot,0); int z=node[(1+tot)>>1]; int x=find(root,k+1); int y=find(root,k+2); splay(x,root); splay(y,t[x].ch[1]); t[z].fa=y; t[y].ch[0]=z; update(y); update(x); }
大致过程如下。用着tot个元素生成一棵新的子树，子树上随便找一个点作为根节点
之后对原树伸展操作，首先找到k+1与k+2位置的节点ID
然后将k+1位置的节点伸展到根节点位置，将k+2位置的节点伸展到新根节点（就是刚才伸展过来的）的右子树位置
然后直接把新生产的子树的根节点接在k+2位置节点的左子树位置上就好了，形成之字形结构，有三层，LRL，分别是XYZ
有了这种插入的思路，我们可以把任意的东西接在任意的位置，这就是合并操作的原理
在介绍删除操作之前，我们先介绍一下split操作：
int split(int k,int tot) { int x=find(root,k),y=find(root,k+tot+1); splay(x,root); splay(y,t[x].ch[1]); return t[y].ch[0]; }
其作用是把k位置之后的tot个节点形成的子树拎出来，放在之前所描述的之字形结构的Z位置，然后就能随意处理这个子树了，你可以把它删掉，也可以再把它接到其他位置
就比如刚才在描述插入操作的时候的那个Z位置，这样就实现了把区间的一段挪到区间的另一个位置去。分裂合并操作也就隐式实现了
既然现在这个split出来的子树已经和原来的树没有任何关系了，我就开一个新变量存一下它的根节点，然后把它和原树的联系切断，为了介绍切断，我们这里引出删除函数：
void erase(int k,int tot) { int x=split(k,tot); int y=t[x].fa; rec(x); t[y].ch[0]=0; update(y); update(t[y].fa); }
其删除的实现中有一个回收节点空间的函数rec，我们如果此时不做回收，而是像刚才那样，开一个新变量存这个拎出来的节点，就能既切断联系又拎出来了一棵子树。美滋滋
接下来我们稍微改动一下insert函数，把其中z替换成我们拎出来的这个子树
综上所述，区间的任意分裂合并都可以实现了
其实除了分裂和合并操作之外，就是BST的最基本的套路了
我们接着介绍，刚才引出了好几个陌生的函数，先说离咱们最近的那个，rec,回收子树节点函数：
void rec(int x) { if(!x) return; int l=t[x].ch[0],r=t[x].ch[1]; rec(l);rec(r);q.push(x); t[x].fa=t[x].ch[0]=t[x].ch[1]=0; t[x].tag=t[x].rev=0; }
这个函数存在的意义就是重复利用Tree结构的空间，避免因数组连续性造成的空间浪费，这里学了一招，应该很实用
然后我们介绍find函数，这个函数就是用来找指定位置的节点ID的
int find(int o,int rk) { pushdown(o); int l=t[o].ch[0],r=t[o].ch[1]; if(t[l].size+1==rk) return o; if(t[l].size>=rk) return find(l,rk); return find(r,rk-t[l].size-1); }
在o形成的子树中找第k个节点的ID
这里又引出了pushdown函数
void pushdown(int x) { int l=t[x].ch[0]; int r=t[x].ch[1]; if(t[x].tag) { t[x].rev=t[x].tag=0; if(l) { t[l].tag=1; t[l].v=t[x].v; t[l].sum=t[x].v*t[l].size; } if(r) { t[r].tag=1; t[r].v=t[x].v; t[r].sum=t[x].v*t[r].size; } if(t[x].v>=0) { if(l) t[l].lx=t[l].rx=t[l].mx=t[l].sum; if(r) t[r].lx=t[r].rx=t[r].mx=t[r].sum; } else { if(l) t[l].lx=t[l].rx=0,t[l].mx=t[x].v; if(r) t[r].lx=t[r].rx=0,t[r].mx=t[x].v; } } if(t[x].rev) { t[x].rev^=1;t[l].rev^=1;t[r].rev^=1; swap(t[l].lx,t[l].rx),swap(t[r].lx,t[r].rx); swap(t[l].ch[0],t[l].ch[1]); swap(t[r].ch[0],t[r].ch[1]); } }
它是用来处理节点上的翻转和重置标记的
说了半天都没有说splay函数，下面介绍
void splay(int x,int &k) { while(x!=k) { int y=t[x].fa; int z=t[y].fa; if(y!=k) { if(t[y].ch[0]==x^t[z].ch[0]==y) rotate(x,k); else rotate(y,k); } rotate(x,k); } }
这个函数可以把一个节点伸展到指定根节点的位置（可以是子树根），这个时候这个节点就是新的根节点了
这是整个伸展树最核心的函数，一定要理解
然后就是旋转操作，其实刚开始旋转我是不会的，后来我是去看了AVL的四种旋转方式才过来看的Splay
我们先回顾一下AVL的四种旋转方式，什么是AVL（一种特别特别正经的平衡树，不想用）
LL,RR,LR,RL，左旋就是往左转，右旋就是往右转，转的时候要搞清楚转哪条边，把谁转过去把谁转过来，转完之后有时候要拆接，怎么处理。搞清楚之后，理解Splay的一字形旋转和之字形旋转就容易多了
Splay双旋（只有双旋才叫Splay）的目的不是为了平衡，而是为了协助完成Splay操作，一次Splay就把沿途的所有的点都转了一遍
下面给出旋转的函数，写的比较硬核：
void rotate(int x,int &k) { int y=t[x].fa; int z=t[y].fa; int l=(t[y].ch[1]==x); int r=l^1; if(y==k) k=x; else t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x; t[t[x].ch[r]].fa=y; t[y].fa=x; t[x].fa=z; t[y].ch[l]=t[x].ch[r]; t[x].ch[r]=y; update(y); update(x); }
后面的就比较水了，重点都已经介绍完了，再说说修改函数，把tot个树都修改为指定的值
void modify(int k,int tot,int val) { int x=split(k,tot); int y=t[x].fa; t[x].v=val,t[x].tag=1,t[x].sum=t[x].size*val; if(val>=0) t[x].lx=t[x].rx=t[x].mx=t[x].sum; else t[x].lx=t[x].rx=0,t[x].mx=val; update(y); update(t[y].fa); }
原理很简单，打标记，更新节点参数
然后是区间翻转：
void rever(int k,int tot) { int x=split(k,tot); int y=t[x].fa; if(!t[x].tag) { t[x].rev^=1; swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]); swap(t[x].lx,t[x].rx); update(y); update(t[y].fa); } }
也是打标记，反正有处理标记的函数，不怕，这里和线段树的lazy Tag的原理类似，只不过这里的树实在是很复杂
再说说查询：
void query(int k,int tot) { int x=split(k,tot); cout<<t[x].sum<<endl; }
只查个sum太水了，我们可以中序遍历是不是，BST家族都可以的
特别特别特别要注意的一点，在执行分裂合并操作的时候，如果你没有保证分裂合并能够满足BST性质，那么因为你的分裂合并，这棵Splay可能就不再是一棵BST了
你要特别小心这一点，仔细审题，如果只让你分裂合并，那好说，如果涉及到了查询什么的，一定要看清楚题意才行
最后，我们给出debug了三个小时的Template,感谢黄学长~
1 #include<queue> 2 #include<iostream> 3 #include<cstdlib> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int INF=1000000000; 7 const int maxn=1000005; 8 int n,m; 9 int a[maxn]; 10 struct Tree 11 { 12 int fa,ch[2]; 13 int size; 14 int v,sum,mx,lx,rx; 15 bool tag,rev; 16 }t[maxn]; 17 int node[maxn]; 18 int root; 19 int cnt=0; 20 queue<int> q; 21 void update(int o) 22 { 23 int l=t[o].ch[0],r=t[o].ch[1]; 24 t[o].sum=t[l].sum+t[r].sum+t[o].v; 25 t[o].size=t[l].size+t[r].size+1; 26 t[o].mx=max(t[l].mx,t[r].mx); 27 t[o].mx=max(t[o].mx,t[l].rx+t[o].v+t[r].lx); 28 t[o].lx=max(t[l].lx,t[l].sum+t[o].v+t[r].lx); 29 t[o].rx=max(t[r].rx,t[r].sum+t[o].v+t[l].rx); 30 } 31 void pushdown(int x) 32 { 33 int l=t[x].ch[0]; 34 int r=t[x].ch[1]; 35 if(t[x].tag) 36 { 37 t[x].rev=t[x].tag=0; 38 if(l) 39 { 40 t[l].tag=1; 41 t[l].v=t[x].v; 42 t[l].sum=t[x].v*t[l].size; 43 } 44 if(r) 45 { 46 t[r].tag=1; 47 t[r].v=t[x].v; 48 t[r].sum=t[x].v*t[r].size; 49 } 50 if(t[x].v>=0) 51 { 52 if(l) 53 t[l].lx=t[l].rx=t[l].mx=t[l].sum; 54 if(r) 55 t[r].lx=t[r].rx=t[r].mx=t[r].sum; 56 } 57 else 58 { 59 if(l) 60 t[l].lx=t[l].rx=0,t[l].mx=t[x].v; 61 if(r) 62 t[r].lx=t[r].rx=0,t[r].mx=t[x].v; 63 } 64 } 65 if(t[x].rev) 66 { 67 t[x].rev^=1;t[l].rev^=1;t[r].rev^=1; 68 swap(t[l].lx,t[l].rx),swap(t[r].lx,t[r].rx); 69 swap(t[l].ch[0],t[l].ch[1]); 70 swap(t[r].ch[0],t[r].ch[1]); 71 } 72 } 73 void rotate(int x,int &k) 74 { 75 int y=t[x].fa; 76 int z=t[y].fa; 77 int l=(t[y].ch[1]==x); 78 int r=l^1; 79 if(y==k) 80 k=x; 81 else 82 t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x; 83 t[t[x].ch[r]].fa=y; 84 t[y].fa=x; 85 t[x].fa=z; 86 t[y].ch[l]=t[x].ch[r]; 87 t[x].ch[r]=y; 88 update(y); 89 update(x); 90 } 91 void splay(int x,int &k) 92 { 93 while(x!=k) 94 { 95 int y=t[x].fa; 96 int z=t[y].fa; 97 if(y!=k) 98 { 99 if(t[y].ch[0]==x^t[z].ch[0]==y) 100 rotate(x,k); 101 else 102 rotate(y,k); 103 } 104 rotate(x,k); 105 } 106 } 107 int find(int o,int rk) 108 { 109 pushdown(o); 110 int l=t[o].ch[0],r=t[o].ch[1]; 111 if(t[l].size+1==rk) 112 return o; 113 if(t[l].size>=rk) 114 return find(l,rk); 115 return find(r,rk-t[l].size-1); 116 } 117 void rec(int x) 118 { 119 if(!x) 120 return; 121 int l=t[x].ch[0],r=t[x].ch[1]; 122 rec(l);rec(r);q.push(x); 123 t[x].fa=t[x].ch[0]=t[x].ch[1]=0; 124 t[x].tag=t[x].rev=0; 125 } 126 int split(int k,int tot) 127 { 128 int x=find(root,k),y=find(root,k+tot+1); 129 splay(x,root); 130 splay(y,t[x].ch[1]); 131 return t[y].ch[0]; 132 } 133 void query(int k,int tot) 134 { 135 int x=split(k,tot); 136 cout<<t[x].sum<<endl; 137 } 138 void modify(int k,int tot,int val) 139 { 140 int x=split(k,tot); 141 int y=t[x].fa; 142 t[x].v=val,t[x].tag=1,t[x].sum=t[x].size*val; 143 if(val>=0) 144 t[x].lx=t[x].rx=t[x].mx=t[x].sum; 145 else 146 t[x].lx=t[x].rx=0,t[x].mx=val; 147 update(y); 148 update(t[y].fa); 149 } 150 void rever(int k,int tot) 151 { 152 int x=split(k,tot); 153 int y=t[x].fa; 154 if(!t[x].tag) 155 { 156 t[x].rev^=1; 157 swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]); 158 swap(t[x].lx,t[x].rx); 159 update(y); 160 update(t[y].fa); 161 } 162 } 163 void erase(int k,int tot) 164 { 165 int x=split(k,tot); 166 int y=t[x].fa; 167 rec(x); 168 t[y].ch[0]=0; 169 update(y); 170 update(t[y].fa); 171 } 172 void buildtree(int l,int r,int f) 173 { 174 if(l>r) 175 return; 176 int mid=(l+r)>>1; 177 int o=node[mid]; 178 int last=node[f]; 179 if(l==r) 180 { 181 t[o].sum=a[l]; 182 t[o].size=1; 183 t[o].tag=t[o].rev=0; 184 if(a[l]>=0) 185 t[o].lx=t[o].rx=t[o].mx=a[l]; 186 else 187 { 188 t[o].lx=t[o].rx=0; 189 t[o].mx=a[l]; 190 } 191 } 192 else 193 { 194 buildtree(l,mid-1,mid); 195 buildtree(mid+1,r,mid); 196 } 197 t[o].v=a[mid]; 198 t[o].fa=last; 199 update(o); 200 t[last].ch[mid>=f]=o; 201 } 202 void insert(int k,int tot) 203 { 204 for(int i=1;i<=tot;i++) 205 cin>>a[i]; 206 for(int i=1;i<=tot;i++) 207 if(!q.empty()) 208 { 209 node[i]=q.front(); 210 q.pop(); 211 } 212 else 213 { 214 node[i]=++cnt; 215 } 216 217 buildtree(1,tot,0); 218 int z=node[(1+tot)>>1]; 219 int x=find(root,k+1); 220 int y=find(root,k+2); 221 splay(x,root); 222 splay(y,t[x].ch[1]); 223 t[z].fa=y; 224 t[y].ch[0]=z; 225 update(y); 226 update(x); 227 } 228 int main() 229 { 230 std::ios::sync_with_stdio(false); 231 cin>>n>>m; 232 t[0].mx=a[1]=a[n+2]=-INF; 233 for(int i=1;i<=n;i++) 234 cin>>a[i+1]; 235 for(int i=1;i<=n+2;i++) 236 node[i]=i; 237 buildtree(1,n+2,0); 238 root=(n+3)>>1; 239 cnt=n+2; 240 int k,tot,val; 241 char ch[15]; 242 while(m--) 243 { 244 cin>>ch; 245 if(ch[0]!=‘M‘||ch[2]!=‘X‘) 246 cin>>k>>tot; 247 if(ch[0]==‘I‘) 248 insert(k,tot); 249 if(ch[0]==‘D‘) 250 erase(k,tot); 251 if(ch[0]==‘M‘) 252 { 253 if(ch[2]==‘X‘) 254 cout<<t[root].mx<<endl; 255 else 256 cin>>val,modify(k,tot,val); 257 } 258 if(ch[0]==‘R‘) 259 rever(k,tot); 260 if(ch[0]==‘G‘) 261 query(k,tot); 262 } 263 return 0; 264 }
最后吐槽一下，这道题是NOI2005年的数列操作，也是我有生以来做的第二道NOI题目（这时候立刻想到了第一道是什么）
能够在考场上完美实现一个这么个东西，平时要付出多少努力可想而知，不是谁都可以去清华的
以上是关于Splay（伸展树分裂树）：平衡二叉搜索树中功能最丰富的树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章