Splay Tree（伸展树）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Splay Tree（伸展树）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
参考：《数据结构（C++语言版）》邓俊辉著 （好书
一、
伸展树（由 D. D. Sleator 和 R. E. Tarjan 于 1985 年发明）也是平衡二叉搜索树的一种形式。相对于 AVL 树，伸展树的实现更为简洁
伸展树无需时刻都严格地保持全树的平衡，但却能够在任何足够长的真实操作序列中，保持分摊意义上的高效率
伸展树也不需要对基本的二叉树节点结构做任何附加的要求或改动，更不需要记录平衡因子或高度之类的额外信息，故适用范围更广
二、局部性
信息处理的典型模式是，将所有的数据项视作一个集合，并将其组织为某种适宜的数据结构，进而借助操作接口高效访问
为考查和评价各操作接口的效率，除了从最坏情况的角度出发，也可假定所有操作彼此独立、次序随机且概率相等，并从平均情况的角度出发
然而，后一尺度所依赖的假定条件， 往往并不足以反映真实的情况
实际上， 通常在任意数据结构的生命期内， 不仅执行不同操作的概率往往极不均衡，而且各操作之间具有极强的相关性， 并在整体上多呈现出极强的规律性
其中最为典型的，就是所谓的“数据局部性”（ data locality） ，这包括两个方面的含义：
- 刚刚被访问过的元素， 极有可能在不久之后再次被访问到
- 将被访问的下一元素， 极有可能就处于不久之前被访问过的某个元素的附近
充分利用好此类特性，即可进一步地提高数据结构和算法的效率
就二叉搜索树而言，数据局部性具体表现为：
- 刚刚被访问过的节点， 极有可能在不久之后再次被访问到
- 将被访问的下一节点， 极有可能就处于不久之前被访问过的某个节点的附近
因此， 只需将刚被访问的节点，及时地“转移”至树根（ 附近） ， 即可加速后续的操作
当然，转移前后的搜索树必须相互等价
三、逐层伸展
1、简易伸展树
一种直接方式是：每访问一个节点之后，随即反复地以它的父节点为轴，经适当的旋转将其提升一层，直至最终成为树根
以图 1 为例，若深度为 3 的节点 E 刚被访问 -- 无论查找或插入，甚至“删除” -- 都可通过 3 次旋转，将该树等价变换为以 E 为根的另一棵二叉搜索树
图 1 通过自下而上的一系列等价变换，可使任一节点上升至树根
随着节点 E 的逐层上升，两侧子树的结构也不断地调整，故这一过程也称作伸展（splaying）
而采用这一调整策略的二叉搜索树也因此得名
不过，为实现真正意义上的伸展树，还须对以上策略做点微秒而本质的改进
之所以改进，是因为目前的策略仍存在致命的缺陷 -- 对于很多访问序列，单次访问的分摊时间复杂度在极端情况下可能高达 Ω(n)
2、最坏情况
不难验证，若从空树开始依次插入关键码 ｛1，2，3，4，5｝，且其间采用如上调整策略，则可得到如图 2 所示的二叉搜索树
接下来，若通过 search() 接口，再由小到大地依次访问各节点一次，则该树在各次访问之后的结构形态将如图（b ~ f）所示
图 2 简易伸展树的最坏情况
可见，在各次访问之后， 为将对应节点伸展调整至树根，分别需做 4、 4、 3、 2 和 1 次旋转
一般地，若节点总数为 n，则旋转操作的总次数应为：
(n - 1) + { (n - 1) + (n - 2) + ... + 1 } = (n^2 + n - 2) / 2 = Ω(n^2)
如此分摊下来，每次访问平均需要 Ω(n) 时间
很遗憾，这一效率不仅远远低于 AVL 树， 而且甚至与原始的二叉搜索树的最坏情况相当
而事实上，问题还远不止于此
稍做比对即不难发现， 图 2(a) 与 (f) 中二叉搜索树的结构完全相同
也就是说，经过以上连续的 5 次访问之后， 全树的结构将会复原！这就意味着，以上情况可以持续地再现
当然， 这一实例， 完全可以推广至规模任意的二叉搜索树
于是对于规模为任意 n 的伸展树，只要按关键码单调的次序， 周期性地反复进行查找
则无论总的访问次数 m >> n 有多大， 就分摊意义而言， 每次访问都将需要 Ω(n) 时间！
那么，这类最坏的访问序列能否回避？具体地，又应该如何回避？
四、双层伸展
为克服上述伸展调整策略的缺陷，一种简便且有效的方法就是：将逐层伸展改为双层伸展
具体地，每次都从当前节点v向上追溯两层（而不是仅一层） ， 并根据其父亲p以及祖父g的相对位置， 进行相应的旋转
以下分三类情况， 分别介绍具体的处理方法
1、zig-zig / zag-zag
如图 3(a) 所示，设 v 是 p 的左孩子，且 p 也是 g 的左孩子
设 W 和 X 分别是 v 的左、右子树， Y 和 Z 分别是 p 和 g 的右子树
图 3 通过 zig-zig 操作，将节点v上推两层
针对这种情况，首先以节点 g 为轴做顺时针旋转 zig(g)， 其效果如图 (b) 所示
然后，再以 p 为轴做顺时针旋转 zig(p)， 其效果如图 (c) 所示
如此连续的两次 zig 旋转， 合称 zig-zig 调整
自然地， 另一完全对称的情形 -- v 是 p 的右孩子，且 p 也是 g 的右孩子 -- 则可通过连续的两次逆时针旋转实现调整， 合称 zag-zag 操作
2、zig-zag / zag-zig
如图 4(a) 所示，设 v 是 p 的左孩子，而 p 是 g 的右孩子
设 W 是 g 的左子树， X 和 Y 分别是 v 的左、右子树， Z 是 p 的右子树
图 4 通过 zig-zag 操作，将节点 v 上推两层
针对这种情况，首先以节点 p 为轴做顺时针旋转 zig(p)， 其效果如 (b) 所示
然后，再以 g 为轴做逆时针旋转 zag(g)， 其效果如图 (c) 所示
如此 zig 旋转再加 zag 旋转， 合称 zig-zag 调整
同样地， 另一完全对称的情形 -- v 是 p 的右孩子，而 p 是 g 的左孩子 -- 则可通过 zag 旋转再加 zig 旋转实现调整， 合称 zag-zig 操作
3、zig / zag
如图 5(a) 所示，若 v 最初的深度为奇数，则经过若干次双层调整至最后一次调整时， v 的父亲 p 即是树根 r
将 v 的左、右子树记作 X 和 Y，节点 p = r 的另一子树记作 Z
图 5 通过 zig 操作，将节点 v 上推一层，成为树根
此时，只需围绕 p = r 做顺时针旋转 zig(p)，即可如图 (b) 所示， 使 v 最终攀升至树根，从而结束整个伸展调整的过程
zag 调整与之对称
4、效果与效率
综合以上各种情况，每经过一次双层调整操作，节点 v 都会上升两层
若v的初始深度 depth(v) 为偶数，则最终 v 将上升至树根
若 depth(v) 为奇数，则当 v 上升至深度为 1 时，不妨最后再相应地做一次 zig 或 zag 单旋操作
无论如何，经过 depth(v) 次旋转后， v 最终总能成为树根
重新审视图 2 的最坏实例不难发现，这一访问序列导致 Ω(n) 平均单次访问时间的原因，可以解释为：
在这一可持续重复的过程中，二叉搜索树的高度始终不小于 n/2
而且，至少有一半的节点在接受访问时，不仅没有如最初设想的那样靠近树根， 而且反过来恰恰处于最底层
从树高的角度看，问题根源也可再进一步地解释为：
在持续访问的过程中， 树高依算术级数逐步从 n - 1 递减至 n/2 ，然后再逐步递增回到 n - 1
那么， 采用上述双层伸展的策略将每一刚被访问过的节点推至树根， 可否避免如图 2 所示的最坏情况呢？
稍作对比不难看出，就调整之后的局部结构而言， zig-zag 和 zag-zig 调整与此前的逐层伸展完全一致（ 亦等效于 AVL 树的双旋调整），而 zig-zig 和 zag-zag 调整则有所不同
事实上，后者才是双层伸展策略优于逐层伸展策略的关键所在
以如图 6(b) 所示的二叉搜索树为例，在 find(1) 操作之后采用逐层调整策略与双层调整策略的效果， 分别如图 (a) 和图 (c) 所示
图 6 双层调整策略的高度折半效果
可见，最深节点（ 1）被访问之后再经过双层调整， 不仅同样可将该节点伸展至树根，而且同时可使树的高度接近于减半
就树的形态而言，双层伸展策略可“ 智能” 地“折叠” 被访问的子树分支，从而有效地避免对长分支的连续访问
这就意味着， 即便节点 v 的深度为 Ω(n)，双层伸展策略既可将 v 推至树根， 亦可令对应分支的长度以几何级数（ 大致折半）的速度收缩
图 7 则给出了一个节点更多、更具一般性的例子，从中可更加清晰地看出这一效果
图 7 伸展树中较深的节点一旦被访问到，对应分支的长度将随即减半
尽管在任一时刻伸展树中都可能存在很深的节点，但与含羞草类似地， 一旦这类“ 坏” 节点被“碰触” 到， 经过随后的双层伸展， 其对应的分支都会收缩至长度大致折半
于是， 即便每次都“ 恶意地” 试图访问最底层节点，最坏情况也不会持续发生
可见，伸展树虽不能杜绝最坏情况的发生， 却能有效地控制最坏情况发生的频度，从而在分摊意义下保证整体的高效率
更准确地， Tarjan 等人采用势能分析法（ potential analysis）也已证明，在改用“双层伸展”策略之后，伸展树的单次操作均可在分摊的 O(logn) 时间内完成
BZOJ 1588 [HNOI2002]营业额统计
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
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#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <ctime>
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int, int> Pair;
const ull mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x7fffffff;
const int maxn = 1e5;
int son[maxn][2], pre[maxn], key[maxn], root, size;
void New_Node(int &r, int father, int x);
bool insert(int x);
void Rotate(int x, int kind);
void Splay(int x, int goal);
int Succ(int x);
int Pred(int x);
int main()
{
#ifdef __AiR_H
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // __AiR_H
int n, num, ans = 0;
root = size = 0;
scanf("%d", &n);
scanf("%d", &num);
ans += num;
insert(num);
--n;
while (n--) {
scanf("%d", &num);
if (insert(num)) {
int pre = Pred(root);
int next = Succ(root);
if (pre == INF) {
ans += next - num;
} else if (next == INF) {
ans += num - pre;
} else {
ans += min(next-num, num-pre);
}
}
}
printf("%d\\n", ans);
return 0;
}
int Pred(int x)
{
int lmax = son[x][0];
if (lmax == 0) {
return INF;
}
while (son[lmax][1]) {
lmax = son[lmax][1];
}
return key[lmax];
}
int Succ(int x)
{
int rmin = son[x][1];
if (rmin == 0) {
return INF;
}
while (son[rmin][0]) {
rmin = son[rmin][0];
}
return key[rmin];
}
void Splay(int x, int goal)
{
while (pre[x] != goal) {
if (pre[pre[x]] == goal) {
Rotate(x, son[pre[x]][0] == x);
} else {
int y = pre[x];
int kind = son[pre[y]][0] == y;
if (son[y][kind] == x) {
Rotate(x, !kind);
Rotate(x, kind);
} else {
Rotate(y, kind);
Rotate(x, kind);
}
}
}
if (goal == 0) {
root = x;
}
}
void Rotate(int x, int kind)
{
int y = pre[x];
son[y][!kind] = son[x][kind];
pre[son[x][kind]] = y;
if (pre[y]) {
son[pre[y]][son[pre[y]][1] == y] = x;
}
pre[x] = pre[y];
son[x][kind] = y;
pre[y] = x;
}
bool insert(int x)
{
int pos = root;
while (son[pos][x > key[pos]]) {
if (key[pos] == x) {
Splay(pos, 0);
return false;
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
New_Node(son[pos][x > key[pos]], pos, x);
Splay(size, 0);
return true;
}
void New_Node(int &r, int father, int x)
{
r = ++size;
pre[r] = father;
key[r] = x;
son[r][0] = son[r][1] = 0;
}BZOJ 1503 [NOI2004]郁闷的出纳员
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#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
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#include <map>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <ctime>
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int, int> Pair;
const ull mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x7fffffff;
const int maxn = 1e5;
struct splay {
int son[maxn][2], pre[maxn], key[maxn], sum[maxn], root, size;
void Init();
void New_Node(int &r, int father, int x);
void insert(int x);
int remove(int x);
int find_by_order(int k);
void Rotate(int x, int kind);
void Splay(int x, int goal);
int Succ(int x);
int find(int x);
};
int main()
{
#ifdef __AiR_H
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // __AiR_H
int n, Min, k, adjust = 0, ans = 0;
splay tree;
tree.Init();
char cmd[1];
scanf("%d %d", &n, &Min);
while (n--) {
scanf("%s %d", cmd, &k);
if (cmd[0] == 'I') {
if (k >= Min) {
tree.insert(k - adjust);
}
} else if (cmd[0] == 'A') {
adjust += k;
} else if (cmd[0] == 'S') {
adjust -= k;
ans += tree.remove(tree.Succ(Min - adjust));
} else {
int sum = tree.sum[tree.root];
if (k > (sum - 2)) {
printf("-1\\n");
} else {
printf("%d\\n", tree.find_by_order(sum - 1 - k) + adjust);
}
}
}
printf("%d\\n", ans);
return 0;
}
void splay::Init()
{
size = root = 0;
New_Node(root, 0, -INF);
New_Node(son[root][1], root, INF);
sum[root] = 2;
}
int splay::find_by_order(int k)
{
int pos = root;
while (sum[son[pos][0]] != k) {
if (sum[son[pos][0]] > k) {
pos = son[pos][0];
} else {
k -= (sum[son[pos][0]] + 1);
pos = son[pos][1];
}
}
Splay(pos, 0);
return key[pos];
}
int splay::Succ(int x)
{
int pos = root, Min = INF;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
return x;
}
if (key[pos] > x) {
Min = min(Min, key[pos]);
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return Min;
}
int splay::find(int x)
{
int pos = root, ret = 0;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
ret = pos;
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return ret;
}
int splay::remove(int x)
{
int pos = find(x);
Splay(1, 0);
Splay(pos, 1);
int ret = sum[son[pos][0]];
son[pos][0] = 0;
Splay(pos, 0);
return ret;
}
void splay::Splay(int x, int goal)
{
while (pre[x] != goal) {
if (pre[pre[x]] == goal) {
Rotate(x, son[pre[x]][0] == x);
} else {
int y = pre[x];
int kind = son[pre[y]][0] == y;
if (son[y][kind] == x) {
Rotate(x, !kind);
Rotate(x, kind);
} else {
Rotate(y, kind);
Rotate(x, kind);
}
}
}
sum[x] = sum[son[x][0]] + sum[son[x][1]] + 1;
if (goal == 0) {
root = x;
}
}
void splay::Rotate(int x, int kind)
{
int y = pre[x];
son[y][!kind] = son[x][kind];
pre[son[x][kind]] = y;
if (pre[y]) {
son[pre[y]][son[pre[y]][1] == y] = x;
}
pre[x] = pre[y];
son[x][kind] = y;
pre[y] = x;
sum[y] = sum[son[y][0]] + sum[son[y][1]] + 1;
}
void splay::insert(int x)
{
int pos = root;
while (son[pos][x > key[pos]]) {
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
New_Node(son[pos][x > key[pos]], pos, x);
Splay(size, 0);
}
void splay::New_Node(int &r, int father, int x)
{
r = ++size;
pre[r] = father;
key[r] = x;
sum[r] = 1;
son[r][0] = son[r][1] = 0;
}#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
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#include <vector>
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#include <cctype>
#include <bitset>
#include <ctime>
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int, int> Pair;
const ull mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x7fffffff;
const int maxn = 1e5;
struct splay {
int son[maxn][2], pre[maxn], key[maxn], sum[maxn], root, size;
void Init();
void New_Node(int &r, int father, int x);
void insert(int x);
int remove(int x);
int find_by_order(int k);
void Rotate(int x, int kind);
void Splay(int x, int goal);
int Succ(int x);
int find(int x);
};
int main()
{
#ifdef __AiR_H
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // __AiR_H
int n, Min, k, adjust = 0, ans = 0;
splay tree;
tree.Init();
char cmd[1];
scanf("%d %d", &n, &Min);
while (n--) {
scanf("%s %d", cmd, &k);
if (cmd[0] == 'I') {
if (k >= Min) {
tree.insert(k - adjust);
}
} else if (cmd[0] == 'A') {
adjust += k;
} else if (cmd[0] == 'S') {
adjust -= k;
ans += tree.remove(tree.Succ(Min - adjust));
} else {
int sum = tree.sum[tree.root];
if (k > sum) {
printf("-1\\n");
} else {
printf("%d\\n", tree.find_by_order(sum + 1 - k) + adjust);
}
}
}
printf("%d\\n", ans);
return 0;
}
void splay::Init()
{
size = root = 0;
}
int splay::find_by_order(int k)
{
int pos = root;
while (sum[son[pos][0]] + 1 != k) {
if (sum[son[pos][0]] + 1 > k) {
pos = son[pos][0];
} else {
k -= (sum[son[pos][0]] + 1);
pos = son[pos][1];
}
}
Splay(pos, 0);
return key[pos];
}
int splay::Succ(int x)
{
int pos = root, Min = INF;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
return x;
}
if (key[pos] > x) {
Min = min(Min, key[pos]);
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return Min;
}
int splay::find(int x)
{
int pos = root, ret = 0;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
ret = pos;
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return ret;
}
int splay::remove(int x)
{
int pos = find(x), ret = 0;
if (pos == 0) {
ret = sum[root];
size = root = 0;
memset(son, 0, sizeof(son));
} else {
Splay(pos, 0);
ret = sum[son[pos][0]];
son[pos][0] = 0;
Splay(pos, 0);
}
return ret;
}
void splay::Splay(int x, int goal)
{
while (pre[x] != goal) {
if (pre[pre[x]] == goal) {
Rotate(x, son[pre[x]][0] == x);
} else {
int y = pre[x];
int kind = son[pre[y]][0] == y;
if (son[y][kind] == x) {
Rotate(x, !kind);
Rotate(x, kind);
} else {
Rotate(y, kind);
Rotate(x, kind);
}
}
}
sum[x] = sum[son[x][0]] + sum[son[x][1]] + 1;
if (goal == 0) {
root = x;
}
}
void splay::Rotate(int x, int kind)
{
int y = pre[x];
son[y][!kind] = son[x][kind];
pre[son[x][kind]] = y;
if (pre[y]) {
son[pre[y]][son[pre[y]][1] == y] = x;
}
pre[x] = pre[y];
son[x][kind] = y;
pre[y] = x;
sum[y] = sum[son[y][0]] + sum[son[y][1]] + 1;
}
void splay::insert(int x)
{
int pos = root;
while (son[pos][x > key[pos]]) {
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
New_Node(son[pos][x > key[pos]], pos, x);
Splay(size, 0);
}
void splay::New_Node(int &r, int father, int x)
{
r = ++size;
pre[r] = father;
key[r] = x;
sum[r] = 1;
son[r][0] = son[r][1] = 0;
}BZOJ 1208 [HNOI2004]宠物收养所
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <ctime>
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int, int> Pair;
const int mod = 1000000;
const int INF = 0x3fffffff;
const int maxn = 1e5;
struct splay {
int son[maxn][2], pre[maxn], key[maxn], sum[maxn], root, size;
void Init();
void New_Node(int &r, int father, int x);
void insert(int x);
void remove(int x);
void Rotate(int x, int kind);
void Splay(int x, int goal);
int Pred(int x);
int Succ(int x);
int find(int x);
};
int main()
{
#ifdef __AiR_H
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // __AiR_H
splay tree;
int n, a, b, ans = 0, num[2];
num[0] = num[1] = 0;
tree.Init();
scanf("%d", &n);
while (n--) {
scanf("%d %d", &a, &b);
if (num[!a] == 0) {
++num[a];
tree.insert(b);
} else {
int pre = tree.Pred(b);
int next = tree.Succ(b);
if (b - pre <= next - b) {
tree.remove(pre);
ans += b - pre;
} else {
tree.remove(next);
ans += next - b;
}
ans %= mod;
--num[!a];
}
}
printf("%d\\n", ans);
return 0;
}
void splay::Init()
{
size = root = 0;
New_Node(root, 0, -INF);
New_Node(son[root][1], root, INF);
}
int splay::find(int x)
{
int pos = root;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
return pos;
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return 0;
}
int splay::Pred(int x)
{
int pos = root, Max = -INF;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
return x;
}
if (key[pos] < x) {
Max = max(Max, key[pos]);
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return Max;
}
int splay::Succ(int x)
{
int pos = root, Min = INF;
while (pos) {
if (key[pos] == x) {
return x;
}
if (key[pos] > x) {
Min = min(Min, key[pos]);
}
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
return Min;
}
void splay::remove(int x)
{
int pos = find(x);
Splay(pos, 0);
int t = son[pos][1];
while (son[t][0]) {
t = son[t][0];
}
Splay(t, root);
son[t][0] = son[root][0];
pre[son[root][0]] = t;
pre[t] = 0;
root = t;
}
void splay::Splay(int x, int goal)
{
while (pre[x] != goal) {
if (pre[pre[x]] == goal) {
Rotate(x, son[pre[x]][0] == x);
} else {
int y = pre[x];
int kind = son[pre[y]][0] == y;
if (son[y][kind] == x) {
Rotate(x, !kind);
Rotate(x, kind);
} else {
Rotate(y, kind);
Rotate(x, kind);
}
}
}
sum[x] = sum[son[x][0]] + sum[son[x][1]] + 1;
if (goal == 0) {
root = x;
}
}
void splay::Rotate(int x, int kind)
{
int y = pre[x];
son[y][!kind] = son[x][kind];
pre[son[x][kind]] = y;
if (pre[y]) {
son[pre[y]][son[pre[y]][1] == y] = x;
}
pre[x] = pre[y];
son[x][kind] = y;
pre[y] = x;
sum[y] = sum[son[y][0]] + sum[son[y][1]] + 1;
}
void splay::insert(int x)
{
int pos = root;
while (son[pos][x > key[pos]]) {
pos = son[pos][x > key[pos]];
}
New_Node(son[pos][x > key[pos]], pos, x);
Splay(size, 0);
}
void splay::New_Node(int &r, int father, int x)
{
r = ++size;
pre[r] = father;
key[r] = x;
sum[r] = 1;
son[r][0] = son[r][1] = 0;
}BZOJ 1500 [NOI2005]维修数列
参考：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/08/28/3287822.html
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <ctime>
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int, int> Pair;
const ull mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 5e5 + 10;
struct splay {
int pre[maxn], son[maxn][2], key[maxn], size[maxn];
int sum[maxn], reverse[maxn], same[maxn];
int lx[maxn], rx[maxn], mx[maxn];
int root, Count;
void Init(void);
void New_Node(int &r, int father, int _key);
void Build(int &a, int low, int high, int father);
void Push_Up(int r);
void Push_Down(int r);
void Update_Rev(int r);
void Update_Same(int r, int _key);
void Rotate(int a, int kind);
void Splay(int r, int goal);
void erase(int r);
void insert(int pos, int tot);
void remove(int pos, int tot);
int find_by_order(int r, int k);
void Make_Same(int pos, int tot, int c);
void Reverse(int pos, int tot);
int Get_Sum(int pos, int tot);
int Get_MaxSum(int pos, int tot);
};
splay tree;
int num[maxn];
int Stack[maxn], depth = 0;
char cmd[20];
int N, M, x, y, z;
int main()
{
#ifdef __AiR_H
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // __AiR_H
scanf("%d %d", &N, &M);
tree.Init();
while (M--) {
scanf("%s", cmd);
if (strcmp(cmd, "INSERT") == 0) {
scanf("%d %d", &x, &y);
tree.insert(x, y);
} else if (strcmp(cmd, "DELETE") == 0) {
scanf("%d %d", &x, &y);
tree.remove(x, y);
} else if (strcmp(cmd, "MAKE-SAME") == 0) {
scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
tree.Make_Same(x, y, z);
} else if (strcmp(cmd, "REVERSE") == 0) {
scanf("%d %d", &x, &y);
tree.Reverse(x, y);
} else if (strcmp(cmd, "GET-SUM") == 0) {
scanf("%d %d", &x, &y);
printf("%d\\n", tree.Get_Sum(x, y));
} else {
printf("%d\\n", tree.Get_MaxSum(1, tree.size[tree.root]-2));
}
}
return 0;
}
int splay::Get_MaxSum(int pos, int tot)
{
Splay(find_by_order(root, pos), 0);
Splay(find_by_order(root, pos+tot+1), root);
return mx[son[son[root][1]][0]];
}
int splay::Get_Sum(int pos, int tot)
{
Splay(find_by_order(root, pos), 0);
Splay(find_by_order(root, pos+tot+1), root);
return sum[son[son[root][1]][0]];
}
void splay::Reverse(int pos, int tot)
{
Splay(find_by_order(root, pos), 0);
Splay(find_by_order(root, pos+tot+1), root);
Update_Rev(son[son[root][1]][0]);
Push_Up(son[root][1]);
Push_Up(root);
}
void splay::Make_Same(int pos, int tot, int c)
{
Splay(find_by_order(root, pos), 0);
Splay(find_by_order(root, pos+tot+1), root);
Update_Same(son[son[root][1]][0], c);
Push_Up(son[root][1]);
Push_Up(root);
}
void splay::remove(int pos, int tot)
{
Splay(find_by_order(root, pos), 0);
Splay(find_by_order(root, pos+tot+1), root);
erase(son[son[root][1]][0]);
pre[son[son[root][1]][0]] = 0;
son[son[root][1]][0] = 0;
Push_Up(son[root][1]);
Push_Up(root);
}
void splay::erase(int r)
{
if (r == 0) {
return;
}
Stack[++depth] = r;
erase(son[r][0]);
erase(son[r][1]);
}
void splay::insert(int pos, int tot)
{
for (int i = 0; i < tot; ++i) {
scanf("%d", &num[i]);
}
Splay(find_by_order(root, pos+1), 0);
Splay(find_by_order(root, pos+2), root);
Build(son[son[root][1]][0], 0, tot-1, son[root][1]);
Push_Up(son[root][1]);
Push_Up(root);
}
void splay::Splay(int r, int goal)
{
Push_Down(r);
while (pre[r] != goal) {
if (pre[pre[r]] == goal) {
Push_Down(pre[r]);
Push_Down(r);
Rotate(r, son[pre[r]][0] == r);
} else {
Push_Down(pre[pre[r]]);
Push_Down(pre[r]);
Push_Down(r);
int b = pre[r];
int kind = son[pre[b]][0] == b;
if (son[b][kind] == r) {
Rotate(r, !kind);
Rotate(r, kind);
} else {
Rotate(b, kind);
Rotate(r, kind);
}
}
}
Push_Up(r);
if (goal == 0) {
root = r;
}
}
void splay::Rotate(int a, int kind)
{
int b = pre[a];
Push_Down(b);
Push_Down(a);
son[b][!kind] = son[a][kind];
pre[son[a][kind]] = b;
if (pre[b]) {
son[pre[b]][son[pre[b]][1] == b] = a;
}
pre[a] = pre[b];
son[a][kind] = b;
pre[b] = a;
Push_Up(b);
}
int splay::find_by_order(int r, int k)
{
Push_Down(r);
int lsize = size[son[r][0]];
if (k <= lsize) {
return find_by_order(son[r][0], k);
} else if (k > lsize+1) {
return find_by_order(son[r][1], k - lsize - 1);
}
return r;
}
void splay::Push_Down(int r)
{
if (same[r]) {
Update_Same(son[r][0], key[r]);
Update_Same(son[r][1], key[r]);
same[r] = 0;
}
if (reverse[r]) {
Update_Rev(son[r][0]);
Update_Rev(son[r][1]);
reverse[r] = 0;
}
}
void splay::Update_Same(int r, int _key)
{
if (r == 0) {
return;
}
key[r] = _key;
sum[r] = _key * size[r];
lx[r] = rx[r] = mx[r] = max(_key, sum[r]);
same[r] = 1;
}
void splay::Update_Rev(int r)
{
if (r == 0) {
return;
}
swap(son[r][0], son[r][1]);
swap(lx[r], rx[r]);
reverse[r] ^= 1;
}
void splay::New_Node(int &r, int father, int _key)
{
if (depth) {
r = Stack[depth--];
} else {
r = ++Count;
}
pre[r] = father;
son[r][1] = son[r][0] = 0;
key[r] = _key;
sum[r] = _key;
reverse[r] = same[r] = 0;
lx[r] = rx[r] = mx[r] = _key;
size[r] = 1;
}
void splay::Init()
{
root = Count = depth = 0;
son[root][0] = son[root][1] = pre[root] = size[root] = 0;
same[root] = reverse[root] = sum[root] = key[root] = 0;
lx[root] = rx[root] = mx[root] = -INF;
New_Node(root, 0, -1);
New_Node(son[root][1], root, -1);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
scanf("%d", &num[i]);
}
Build(son[son[root][1]][0], 0, N-1, son[root][1]);
Push_Up(son[root][1]);
Push_Up(root);
}
void splay::Build(int &a, int low, int high, int father)
{
if (low > high) {
return;
}
int mid = (low + high) / 2;
New_Node(a, father, num[mid]);
Build(son[a][0], low, mid-1, a);
Build(son[a][1], mid+1, high, a);
Push_Up(a);
}
void splay::Push_Up(int r)
{
int lson = son[r][0], rson = son[r][1];
size[r] = size[lson] + size[rson] + 1;
sum[r] = sum[lson] + sum[rson] + key[r];
lx[r] = max(lx[lson], sum[lson] + key[r] + max(0, lx[rson]));
rx[r] = max(rx[rson], sum[rson] + key[r] + max(0, rx[lson]));
mx[r] = max(0, rx[lson]) + key[r] + max(0, lx[rson]);
mx[r] = max(mx[r], max(mx[lson], mx[rson]));
}splay 题集：
http://www.cnblogs.com/kane0526/archive/2012/12/31/2840757.html
http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7815019
以上是关于Splay Tree（伸展树）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章