数学建模方法-Floyd算法

Posted 2020-12-04 qling

一、引言

　　哈喽大家好，今天要给大家讲的是Floyd算法。在那之前，大家还记得我们上一章讲的内容吗，就是那个Dijkstra算法，用来解决从A点到B点的最短路径问题。我们还给出了Matlab代码。Floyd算法也是用来处理最短路径问题的。它的理念跟Dijkstra有点不一样，但是最终的结果是一样的。Floyd算法主要是用到了动态规划的思想。在这里博主不打算讲到很抽象很高深的东西（毕竟博主也不是专业的），仅仅通过比较通俗易懂的方式来给大家讲解这个算法的思想（如果有问题大家帮忙指出来哈）。本文的图片和思想，借用了https://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/52261672的博文（图片画得好好，有谁知道是用什么软件画的吗，博主也想学一学）。本篇的主要思想来自那篇博文，因此会有很多类似的，但博主还是想以自己的理解来解释Floyd算法的理念。好了我们开始吧...

二、Floyd算法

　　首先，大家看上面的图，暑假，小哼准备去一些城市旅游。有些城市之间有公路，有些城市之间则没有。为了节省经费以及方便计划旅程，小哼希望在出发之前知道任意两个城市之前的最短路程。我们用1-4来表示4个地点，并用箭头和箭头上的数字来表示一个地点到另一个地点的距离（注意，有些路是单向的）。这样就得到下图

　　现在，我们希望能求解出任意两点的最短路径及其距离。

　　好了，为了求解这个问题，我们先用一个二维的数组A来存储我们图的信息。如下图（怎么看这个图下面解释）

　　这个是怎么数组填写出来的呢，举例来讲吧，比如1号城市到2号城市的路程为2，则设A(1, 2)的值为2。2号城市无法到达4号城市，则设置A(2, 4)的值为$infty$。另外此处约定一个城市自己是到自己的也是0，例如A(1, 1)为0。

　　现在问题是，如何求解任意两个点的最短距离。我们可以这样想，我们假设第$i$点和第$j$点的距离，应该就包括两种情况：

　　1. $i$和$j$之间是直接相连的（即$i ightarrow j$)；

　　2. $i$和$j$之间还有其他端点(即$i ightarrow cdot cdot cdot ightarrow j$)；

　　上面两句话什么意思呢，我们先看下面这张图：

　　我们现在比如说从地点$i$到地点$j$，我们可以直接走红色路线，即$i ightarrow j$；或者，走经过1（或者2或者经过1和2）的路线。即从地点$i$开始，先经过其他地点，再从其他地点到$j$，即$i ightarrow  cdot cdot cdot ightarrow j$

　　那么，哪个才是最短距离呢。接下来就是算法的核心和重点了，大家注意啦！！

　　当任意两点之间不允许经过第三个点时，这些城市之间最短路程就是初始路程，如下

　　（1）现在，如果我只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，该怎么求呢？

　　由于只允许经过1号顶点，那任意两点的路线不外乎只有两种，即：

　　1. $i ightarrow 1 ightarrow j$

　　2. $i ightarrow j$

　　要求最短路程，只要比较这两个路线距离的大小即可。就是：

　　即

A(i, j) = min [A(i, j), A(i, 1) + A(1, j)]

　　在只允许经过1号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：

　　通过上图我们发现：在只通过1号顶点中转的情况下，3号顶点到2号顶点(A(3, 2))、4号顶点到2号顶点(A(4, 2))以及4号顶点到3号顶点(A(4, 3))的路程都变短了。

　　（2）接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。如何做呢？

　　可以写出公式：A(i, j ) = A(i, 1) + A(1, 2) + A(2, j)

　　根据（1）我们已经求出A(i, 1) + A(1, 2) = min [A(i, 2), A(i, 1) + A(1, 2)]。

　　故我们只需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得$i$号顶点到$j$号顶点之间的路程变得更短。

　　即

A(i, j) = min [A(i, j), A(i, 2) + A(2, j)]

　　在只允许经过1和2号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：

　　通过上图得知，在相比只允许通过1号顶点进行中转的情况下，这里允许通过1和2号顶点进行中转，使得A(1, 3)和A(4, 3)的路程变得更短了。

　　（3）同理，继续在只允许经过1、2和3号顶点进行中转的情况下，求任意两点之间的最短路程。任意两点之间的最短路程更新为：

　　（4）最后允许通过所有顶点作为中转，任意两点之间最终的最短路程为：

 

　　这样就大功告成啦。

　　整个算法的思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转，接下来······，到允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。大家好好理一理，逻辑比较容易混乱，但看多几遍应该就好了。

三、 Floyd算法Matlab代码

function [D, path] = floyd(A)
% [D,PATH] = FLOYD(A)
% returns the distance and path between the start node and the end node.
%
% A: adjcent matrix
%% 初始化
%节点的数量n
D = A;
n = length(D);
path = zeros(n, n);
%% 初始化path
for i = 1: n
    for j = 1: n
        if D(i, j) ~= inf
            path(i, j) = j;
        end
    end
end
%% 记录最短路径与最短距离
for k = 1: n
    for i = 1: n
        for j = 1: n
            if D(i, j) > D(i, k) + D(k, j)
                D(i, j) = D(i, k) + D(k, j);
                path(i, j) = path(i, k);
            end
        end
    end
end