欧拉函数

Posted 2020-12-04 wkfvawl

一、概念：

　　在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

　　例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

　　欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

　　对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

　（初学者一定注意：此处的欧拉函数与图论中的欧拉回路不同）

对于互质的理解：

互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。 

互质数具有以下定理：

（1）两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数；

（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；

（3）两个不同的质数，为互质数；

（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质；

（5）任何相邻的两个数互质；（必为一奇一偶）

（6）任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2。

 

二、通式：

 　　

　　其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

       φ(1) = 1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12 = 2*2*3 那么      φ(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3)=4  )

       若 n = p^k  (  p为 质数 )，则 φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)，（ 除 p 的倍数外，其他数均为 p 的互质数 ）。

       若n = p（ p 为质数），则  φ(n) = p-p^(1-1) = p-1。

三、性质：

(1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

四、模板

1.直接求小于或等于n,且与n互质的个数:

 

 1 int  eular(int n)
 2 {
 3     int i,ret=n;
 4     for(i=2; i<=sqrt(n); i++)
 5     {
 6         if(n%i==0)
 7         {
 8             ret=ret/i*(i-1);
 9             while(n%i==0) n/=i;
10         }
11     }
12     if(n>1) ret=ret/n*(n-1);
13     return ret;
14 }

 

2.筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数

 

 1 #define size 1000001
 2 int euler[size];
 3 void Init()
 4 {
 5     euler[1]=1;
 6     for(int i=2; i<size; i++)
 7         if(!euler[i])
 8             for(int j=i; j<size; j+=i)
 9             {
10                 if(!euler[j])
11                     euler[j]=j;
12                 euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
13             }
14 }