51Nod 1677 treecnt 树形dp+组合数学+逆元

Posted 2020-12-04 frank-king

51Nod 1677  treecnt

Description:
给定一棵n个节点的树，从1到n标号。选择k个点，你需要选择一些边使得这k个点通过选择的边联通，目标是使得选择的边数最少。

现需要计算对于所有选择k个点的情况最小选择边数的总和为多少。

样例解释：

一共有三种可能:(下列配图蓝色点表示选择的点，红色边表示最优方案中的边)

选择点{1,2}:至少要选择第一条边使得1和2联通。

 

选择点{1,3}:至少要选择第二条边使得1和3联通。

 

选择点{2,3}:两条边都要选择才能使2和3联通。

 

Input

第一行两个数n，k(1<=k<=n<=100000)
接下来n-1行，每行两个数x,y描述一条边(1<=x,y<=n)

Output

一个数，答案对1,000,000,007取模。

Input示例

3 2
1 2
1 3

Output示例

4


题解：

一道非常6的好题，思维性很强！！！值得一做！！！
首先直接做，要选出 k 个点，然后还要选择一些边使他们构成联通块，复杂度很高。
我们换个角度考虑（思维含量贼高）：我们考虑一条边对答案的贡献：
设一条边连着 x,y 两侧的节点，那么每次选 k 个点，我们有三种取法：                      

（以上图片转载）

1：x 一侧的k个点的联通块
2：y 一侧的k个点的联通块
3：既包含 x 又包含 y 的k个点的联通块

显然，只有第三种情况这条边对答案有贡献，所以这条边对答案的贡献即为： C（n，k）-C（x，k）-C（y，k）；
这样一来就简单了：我们通过 dfs dp出每个点的子节点数，这样一来就直接带进公式求值就可以了。
（还要注意：这里的组合数要用到阶乘逆元，否则精度会爆）

上代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define mo 1000000007
 4 using namespace std;
 5 const ll N=100005;
 6 const ll M=1e5+5;
 7 vector <ll> mp[100005];
 8 ll ans,n,k;
 9 ll vis[100500];
10 ll step[100005];  //阶乘数组 
11 ll unstep[100005];  // 阶乘逆元数组 
12 
13 //快速幂部分 
14 ll qpow(ll x,ll n)
15 {
16     ll res=1;
17     for (; n; n>>=1)
18     {
19         if (n&1) res=res*x%mo;
20         x=x*x%mo;
21     }
22     return res;
23 }
24 
25 //阶乘逆元部分 
26 void init()
27 {
28     step[1]=1;
29     for (int i=2; i<=M; i++)
30       step[i]=step[i-1]*i%mo;
31     unstep[M]=qpow(step[M],mo-2);
32     for (int i=M-1; i>=0; i--)
33       unstep[i]=unstep[i+1]*(i+1)%mo;
34 }
35 
36 //组合数学部分 
37 ll C(ll a,ll b)
38 {
39     if (b>a) return 0;
40     if (b==0) return 1;
41     return step[a]*unstep[b]%mo*unstep[a-b]%mo;
42 }
43 
44 //dfs部分 
45 ll dfs(int x)
46 {
47     vis[x]=1;
48     ll count=1;
49     for (ll int i=0; i<mp[x].size(); i++)
50     {
51         ll u=mp[x][i];
52         if (vis[u]==0)
53         {
54             ll tmp=dfs(u);
55             ans=(ans+(C(n,k)%mo-C(tmp,k)%mo-C(n-tmp,k)%mo)%mo+mo)%mo;
56             count+=tmp;    
57         }
58     }
59     return count;
60 }
61 
62 
63 int main()
64 {
65     while (~scanf("%I64d%I64d",&n,&k))
66     {
67         init();
68         memset(vis,0,sizeof(vis));
69         for (ll i=1; i<=n; i++) mp[i].clear();
70         for (ll i=1; i<=n-1; i++)
71         {
72             ll x,y;
73             scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
74             mp[x].push_back(y); mp[y].push_back(x);
75         }
76         ans=0;
77         dfs(1);
78         printf("%I64d
",(ans+mo)%mo);
79     }
80     return 0;
81 }

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加油加油加油！！！ fighting fighting fighting !!!