树形背包bzoj4033: [HAOI2015]树上染色

Posted 2020-12-04 antiquality

仔细思考后会发现和51nod1677 treecnt有异曲同工之妙

Description

有一棵点数为N的树，树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K，你要在这棵树中选择K个点，将其染成黑色，并

将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。

问收益最大值是多少。

Input

第一行两个整数N,K。

接下来N-1行每行三个正整数fr,to,dis，表示该树中存在一条长度为dis的边(fr,to)。

输入保证所有点之间是联通的。

N<=2000,0<=K<=N

Output

输出一个正整数，表示收益的最大值。

Sample Input

5 2
1 2 3
1 5 1
2 3 1
2 4 2

Sample Output

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【样例解释】
将点1,2染黑就能获得最大收益。

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题目分析

这题目第一眼看上去根本不像是背包题吧……倒像是个贪心或者奇妙结论题。

但是可以像treecut一样，将答案按照树上每一条边来统计贡献。

我们把一颗树沿某条边分开，看成这个样子。

那么显然若知道这条边左右两边黑白点各有多少个，就可以计算这个情况下的答案了。

也就是说，如果我们确定一条边来把树分开，那就可以依靠枚举来确定最优答案。

观察一下这个问题是具有最优子结构的，也就是说变成了一个树上背包的形式：左右两边黑白点个数的不同情况各有体积和价值，求最大价值。

我们定义$f[x][i]$表示以$x$为根的子树中，有$i$个黑点，这种情况的最大价值。

考虑如何转移，

总结

一类难以通过树形结构直接转移的动态规划问题，可以考虑对于边将树划分为两个部分的子问题，再分别维护答案。