实变函数复习1|非负可测函数的积分

Posted 2020-12-03 mathematicalcat

本节内容主要是使用分布函数来重述一些结论的证明 （抽象废话）

定义 设$finmathcal{M} (E)$，则其分布函数定义为测度$$d_f (x):=mathrm{m} E(vert fvert >x)$$其中$xgeq 0$.

关于分布函数有一个显然的重要不等式，概率论中称为切比雪夫不等式：

定理 若$finmathcal{M} (E)$，则对任意$x>0$有不等式$$d_f (x)leqfrac{1}{x}int_E vert f(t)vert mathrm{d} t$$成立。

证明 由定义就有$$int_E vert f(t)vert mathrm{d} tgeqint_{E(vert fvert >x)}vert f(t)vert mathrm{d} tgeq xd_f (x)$$

下面利用分布函数来证明一些简单事实：

命题1 若$finmathcal{M} (E)$非负，那么$f=0 a.e. xin E$当且仅当$int_E f mathrm{d} x=0$

证明 $Rightarrow $是显然的；反之，若$int_E f mathrm{d} x=0$，那么由切比雪夫不等式，对于$ninmathbb{N} $有$$d_f (frac{1}{n} )leq nint_E f(t) mathrm{d} t=0,$$因此$d_f (frac{1}{n} )=0$对任意$ninmathbb{N} $成立，令$n ightarrowinfty $就有$d_f (0)=0$，即$f=0 a.e. xin E$.

命题2 若$finmathrm{L} (E)$非负，那么$f(x)<infty a.e. xin E$.

证明 由Chebyshev不等式有$$d_f (n)leqfrac{1}{n}int_E f(t) mathrm{d} t ightarrow 0,quad n ightarrowinfty ,$$从而$mathrm{m} E(f(x)=infty )=lim_{n ightarrowinfty } d_f (n)=0$

命题3 若$finmathcal{M} (E)$非负且几乎处处有限，$mathrm{m} E<infty $，在$[0,infty )$上做出如下分划：$$0=y_0 <y_1 <dotsb <y_n <dotsb ightarrowinfty $$其中$y_{k+1} -y_k <delta (delta >0)$，则$f$在$E$上可积当且仅当级数$$sum_{n=0}^{infty } y_n (d_f (n)-d_f (n+1))<infty $$并且$$lim_{delta ightarrow 0} sum_{k=0}^{infty } y_k (d_f (k)-d_f (k+1))=int_E f(x) mathrm{d} x$$

证明 由定义有$$int_E f(t) mathrm{d} t=sum_{k=0}^{infty }int_{E(y_k <fleq y_{k+1} )} f(t) mathrm{d} tgeqsum_{k=0}^{infty } y_k (d_f (k)-d_f (k+1))$$另一方面，$$int_E f(t) mathrm{d} tleqsum_{n=0}^{infty } y_{n+1} (d_f (n)-d_f (n+1))=sum_{n=0}^{infty } y_n (d_f (n)-d_f (n+1))+sum_{n=0}^{infty } (y_{n+1} -y_n ) (d_f (n)-d_f (n+1))<sum_{n=0}^{infty } y_n (d_f (n)-d_f (n+1))+delta d_f (0)$$

命题4 若$finmathcal{M} (E)$非负，并且对任意的$ninmathbb{N} $有$d_f (n)>0$，那么存在$ginmathrm{L} (E)$非负，使得$fg otinmathrm{L} (E)$.

证明 构造$$g(x)=sum_{n=0}^{infty }frac{chi_{E(f>n)} (x)}{(n+1)^2 d_f (n)} $$