最短路径树

Posted 2020-12-01 cutemush

最短路径树：概念就是以一个节点为根，然后根节点到其他所有点的距离最短，然后形成了一棵树，把不必要的边删除，其实我们用dij的时候求一个点到其他点的距离的时候就已经会把根节点到其他所有点的最短距离求出来了，只是我们不确定是哪些边构成的.

原图:

最短路径树图（以A为根)

现在请你利用最短路径树解下面这个决问题：
n个城市用m条双向公路连接，使得任意两个城市都能直接或间接地连通。其中城市编号为1..n，公路编号为1..m。任意个两个城市间的货物运输会选择最短路径，把这n*(n-1)条最短路径的和记为S。 

现在你来寻找关键公路r，公路r必须满足：当r堵塞之后，S的值会变大（如果r堵塞后使得城市u和v不可达，则S为无穷大）。

【输入格式】

　　
第1行包含两个整数n,m，
接下来的m行，每行用三个整数描述一条公路a,b,len（1<=a,b<=n），
表示城市a和城市b之间的公路长度为len，
这些公路依次编号为1..m。

【输出格式】

　　
从小到大输出关键公路的编号。

【输入样例】

4 6

1 2 1

2 3 1

3 4 1

1 4 1

1 3 1

4 1 1

【输出样例】

1

2

3

5

【数据范围】

n<=100，1<=m<=3000，1<=len<=10000。

此题需要一每个点为起点生成一个最短路径树，再在树上枚举每条边，看是否是重要边

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxm=3005;
const int inf=200000000;
struct shu
{
    int u,id;
};
vector<int>g[maxn],w[maxn],idn[maxn];
int n,m,d[maxn],fa[maxn],vis[maxn]={0},q[maxn*maxn];
bool mark[maxm]={0};
 
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        g[x].push_back(y);
        w[x].push_back(z);
        idn[x].push_back(i);
        g[y].push_back(x);
        w[y].push_back(z);
        idn[y].push_back(i);
    }
}
 
void in()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=inf;
}
 
void spfa1(int x)
{
    int front=0,root=0;
    q[root++]=x;
    vis[x]=1;
    d[x]=0;
    while(front!=root)
    {
        int i=q[front++];
        vis[i]=0;
        for(int k=0;k<g[i].size();k++)
        {
            int j=g[i][k],c=w[i][k],z=idn[i][k];
            if(d[i]+c>=d[j]) 
			     continue;
            d[j]=d[i]+c;
            fa[j]=z;//j点在最短路径树上父亲边为第z条边
            if(vis[j])
			     continue;
            q[root++]=j;
            vis[j]=1;
        }
    }
}
 
void spfa2(int x,int y)
//求出x到其它点的最短路，y这条边是不可以走的 
{
    int front=0,root=0;
    q[root++]=x;
    vis[x]=1;
    d[x]=0;
    while(front!=root)
    {
        int i=q[front++];
        vis[i]=0;
        for(int k=0;k<g[i].size();k++)
        {
            int j=g[i][k],c=w[i][k],z=idn[i][k];
            if(d[i]+c>=d[j]) continue;
            if(z==y) //如果z等于所规定的不可走的边的时候
            continue;
            d[j]=d[i]+c;
            if(vis[j]) continue;
            q[root++]=j;
            vis[j]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举起点。
    {
        in();//设置d数组即表示距离的值都为无限大 
        fa[i]=0;
        //设置下fa[i]=0就好了，其它fa的值不用重置，反正后面会更新的 
        spfa1(i);
        int s=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        s+=d[j];
        for(int j=1;j<=n;j++)//枚举哪些点在最短路径树上 
        if(fa[j]&&!mark[fa[j]])
		//fa[j]这条边还没打上标记的话,则假设这条边是不可以走的 
        {
            in();
            spfa2(i,fa[j]);
            //从i出发再做一次最短路,fa[j]这条边不可以走 
            int ss=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)
              ss+=d[k];
            if(ss>s) 
			    mark[fa[j]]=1;//标记重要边。
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) //枚举边 
        if (mark[i])
    printf("%d
",i);
    return 0;
}