AcWing 846. 树的重心

Posted 2022-02-27 VanHope

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  • dfs算法求解
    • 分析
    • 代码
    • 时间复杂度
  • 参考文章

题目描述

给定一颗树，树中包含 n 个结点（编号 1∼n）和 n−1 条无向边。

请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

输入格式

第一行包含整数 nn，表示树的结点数。

接下来 n−1 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示点 a 和点 b 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数 m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

数据范围

1≤n≤105

输入样例

9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3
3 9
4 6

输出样例：

4

dfs算法求解

分析

首先使用数组模拟链表建立无向图，注意，因为是无向图，所以边的数目应该开成点数目的两倍

然后使用dfs遍历图，dfs(u)返回的是以u为根节点的子树中节点的数目（包括u本身）

使用sum表示以u为根的子树的大小，使用size表示每个节点u删除后，剩余联通块中节点数目的最大值，则分两部分看

1. 对于u的所有孩子节点（在u的列表中，并且还没有被访问过的节点）j：用对j进行dfs(j)得到该子树的大小s，遍历所有节点求出 size = max(s)
2. 对u的父节点所在的连通块：其大小为 n - sum

所以 size = max(size, n-sum)

每次遍历所有u的孩子节点结束后，得到删除节点u之后，剩余连通块中节点数目的最大值：size

那么只需要维护一个全局变量ans，求得所有节点size的最小值 ： ans = min(ans, size)

如图，从1开始遍历，当u=4这个节点的时候

其孩子子树大小分别为：2（3-9）， 1（6）

其父节点所在的子树大小为：n-sum = 9 - 4 = 5 (1-2-8-5-7)

所以删除u之后剩余连通块中点的数目的最大值为：size = 5

遍历所有点的size就可得到最后的结果

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 100010;
// 存图
int h[N], e[2*N], ne[2*N], idx = 0;
bool state[N]; // 标记每个点是否被访问过 
int n;
int ans = N; // 最后的结果 

// 建边
void add(int a, int b)

	e[idx] = b;
	ne[idx] = h[a]; 
	h[a] = idx++;


// 返回以u为根的子树的大小，包含u 
int dfs(int u)

	state[u] = true; //访问了该点 

	// sum 表示以u为根的子树的大小 
	// size 表示以u为根的所有子树中节点数目的最大值 
	int sum  = 1, size = 1;
	// 枚举u所有的子树
	for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
	
		int j = e[i]; 
		// 如果该子节点没有被访问过
		if(!state[j])
		
		  //  state[j] = true;
			int s = dfs(j); // 该子树的大小
            // state[j] = false;
    
			sum += s;
			size = max(size, s);
		
		 
	 
	size = max(size, n - sum); //再看一眼u的父节点所在的子树大小n-sum 
	
	ans = min(ans, size);
	
	return sum;



int main()

	memset(h, -1, sizeof h);
	
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n-1; i++)
	
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b);
		add(b, a);
	
	
	
// 	state[1] = true;
	dfs(1);
	
	cout << ans << endl;
	return 0;

时间复杂度

\\(O(m+n)\\)

参考文章

https://www.acwing.com/solution/content/4917/