多项式？

Posted 2022-02-13 yukari1735 aka 泉 こなた

多项式

一个关于 \\(x\\) 的多项式可以写作

\\[f(x)=\\sum_i=0^n\\mathbbf_ix^i \\]

其次数定义为最高非零项的次数，记为 \\(\\deg f(x)\\)。

运算

设 \\(f(x),g(x)\\) 为两个次数不超过 \\(n\\) 的多项式，有

\\[f(x)\\pm g(x)=\\sum_i=0^n(\\mathbbf_i\\pm \\mathbbg_i)x^i \\]

\\[f(x)g(x)=\\sum_i=0^n\\sum_j=0^n\\mathbbf_i\\mathbbg_jx^i+j=\\sum_k=0^2n\\mathbbh_kx^k \\]

其中 \\(\\mathbbh\\) 为 \\(f(x),g(x)\\) 的系数数列 \\(\\mathbbf,\\mathbbg\\) 的卷积。

\\[\\mathbbh_k=\\sum_i=0^k\\mathbbf_i\\mathbbg_k-i=\\sum_i+j=k\\mathbbf_i\\mathbbg_j \\]

点值表达

给定一个不超过 \\(n\\) 次的多项式 \\(f(x)\\)，以及 \\(n+1\\) 个点值 \\(x_0,x_1,\\cdots,x_n\\)，令 \\(y_i=f(x_i)\\)，则这 \\(n+1\\) 组点值 \\((x_0,y_0),(x_1,y_1),\\cdots,(x_n,y_n)\\) 唯一确定这个多项式 \\(f(x)\\)。

换句话说，\\(n+1\\) 组点值 \\((x_i,y_i)\\) 可以唯一确定一个至多 \\(n\\) 次的多项式 \\(f(x)\\)。

这 \\(n+1\\) 组点值称为多项式 \\(f(x)\\) 的点值表达。

Lagrange 插值多项式

从若干组点值中确定一个多项式的过程称为插值。

给定 \\(n+1\\) 组点值 \\((x_i,y_i),0\\leq i\\leq n\\)，存在唯一的多项式 \\(f(x)\\)，满足 \\(y_i=f(x_i),0\\leq i\\leq n\\)。

具体地，

\\[f(x)=\\sum_i=0^ny_i\\ell_i(x) \\]

其中 \\(\\ell_i(x)\\) 为 Lagrange 基，

\\[\\ell_i(x)=\\prod_j=0,j\\neq i^n\\fracx-x_jx_i-x_j \\]