「学习笔记」期望问题

Posted 2022-01-28 cyhyyds

一.基本概念

数学期望（简称期望），是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映了随机变量平均取值的大小。

对于随机变量 \\(X\\)，它有 \\(n\\) 种可能的取值，取值为 \\(x_i\\) 的概率为 \\(P(x_i)\\)，那么它的数学期望 \\(E(X)=\\Sigma _i=1^n x_i P(x_i)\\)。

举个例子：给定一个随机变量 \\(X\\)，它有六种可能的取值，分别是 \\(1,2,3,4,5,6\\)，且取每个值得概率是一样的，那么 \\(E(X)=\\frac16×1+\\frac16×2+\\frac16×3+\\frac16×4+\\frac16×5+\\frac16×6=\\frac72\\)。

数学期望可以用加权平均数来理解，可能取值就是初始数据，概率就是每个数的权，此时期望就是加权平均数。

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二.性质

设 \\(A,B,C\\) 为常数， \\(X,Y\\) 为随机变量，那么有：

• \\(E(C)=C\\)；
• \\(E(CX)=CE(X)\\)；
• \\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\)；
• \\(X,Y\\) 互相独立时， \\(E(XY)=E(X)E(Y)\\)；
• 结合上列性质，得出 \\(X,Y\\) 互相独立时 \\(E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y)\\)。

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三.例题讲解

Ybtoj【例题1】单选错位

P1297 [国家集训队]单选错位

分四种情况讨论：

• \\(1.\\) 每道题选项个数都相同：设每道题有 \\(a\\) 个选项，那么选对一道题的概率为 \\(\\frac1a\\)，所以 \\(E(ans)=\\fracna\\)。

• \\(2.\\) 对于第 \\(i\\) 题，当 \\(a_i<a_i+1\\) 时，第 \\(i+1\\) 题的答案与第 \\(i\\) 题答案相同的概率为 \\(\\frac1a_i+1\\)，即答对第 \\(i+1\\) 题的概率为 \\(\\frac1a_i+1\\)，

• \\(3.\\) 当 \\(a_i=a_i+1\\) 时，同第 \\(2\\) 条。

• \\(4.\\) 当 \\(a_i>a_i+1\\)，第 \\(i\\) 题与第 \\(i+1\\) 题答案相同的概率为 \\(\\frac1a_i\\)，即答对第 \\(i+1\\) 题的概率为 \\(\\frac1a_i\\)。

综上所述，我们记答对第 \\(i\\) 题的概率为 \\(P(i)\\)，期望为 \\(E(ans_i)\\)。答对一道题，对总答案的贡献为 \\(1\\)，因此对于第 \\(i\\) 题，答对的期望 \\(E(ans_i)=P(i)×1=P(i)\\)。所以，\\(E(Ans)=E(\\sum ^n_i=1 ans_i)=\\sum ^n_i=1E(ans_i)=\\sum ^n_i=1P(i)\\)。

核心代码：

a[n + 1] = a[1];
double ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) 
	ans += 1.0 / max (a[i], a[i + 1]);

Ybtoj【例题2】期望分数

P1365 WJMZBMR打osu! / Easy

先思考一下，在连续 \\(a\\) 个 \\(o\\) 后面再加一个 \\(o\\)，会对答案产生多少贡献？

显然，会多贡献 \\((a+1)^2-a^2=a^2+1+2a-a^2=2a+1\\)。

当处理到第 \\(i\\) 位时，我们可以知道以第 \\(i\\) 位为结尾的连续 \\(o\\) 的期望长度，根据 连续 \\(o\\) 的期望长度，就可以轻松算出期望分数。

核心代码：

for (int i = 1; i <= n; i++) 
    if (c[i] == \'o\') 
        ans += len * 2 + 1;//一定是，累计贡献。
		len++;//同上。
    

    else if (c[i] == \'x\') 
        len = 0;//一定不是，期望长度归0。
    

    else 
        ans += (len * 2 + 1) / 2;//有一半的概率不是o，所以要除以2。
        len = (len + 1) / 2;//同上。
    

Ybtoj【例题3】路径长度

P4316 绿豆蛙的归宿

因为已知最终状态，那么逆推。

设有向边 \\(x\\to y\\)，那么有 \\(f_x=(\\frac1deg_x)\\Sigma f_y + w_x\\to y\\)。

因为反向建边，所以我们要把 \\(x,y\\) 颠倒过来。

核心代码：

queue <int> q;
q.push (n);
while(!q.empty()) 
	int u = q.front();
	q.pop();
	for(int i=head[u]; i; i = e[i].from) 
		int v = e[i].to;
		f[v] += (f[u] + e[i].w) / dg[v];
		if(--in[v] == 0) 
			q.push (v);