题解

Posted 2022-01-28 微笑是糖゛甜到忧伤づ

「MLOI」小兔叽

小兔叽

\\(\\textttLink\\)

简单题意

有 \\(n\\) 个小木桩排成一行，第 \\(i\\) 个小木桩的高度为 \\(h_i\\)，分数为 \\(c_i\\)。

如果一只小兔叽在第 \\(i\\) 个小木桩上，她会获得 \\(c_i\\) 的分数；同时，如果 \\((|i - j| \\neq 1) \\wedge (h_j < h_i) \\wedge (\\forall \\min\\i, j\\ < k < \\max\\i, j\\, h_k < h_i)\\)，那么她可以从第 \\(i\\) 个小木桩跳跃到第 \\(j\\) 个小木桩上；当然，她也可以停止跳跃。

记 \\(f_i\\) 表示小兔叽从第 \\(i\\) 个小木桩开始跳跃获得的总分数的最大值。

请你求出 \\(\\sum\\limits_i = 1^n f_i\\) 和 \\(\\mathrmxor _ i = 1 ^ n |f_i|\\)。

数据范围

对于 \\(100\\%\\) 的数据：满足 \\(1 \\leq n \\leq 3 \\times 10^6\\)，\\(\\forall 1 \\leq i \\leq n, \\ 1 \\leq h_i \\leq 10^18 \\wedge |c_i| \\leq 10^10\\)。

\\(\\textttSolution\\)

由于小兔叽只能往低处跳，考虑建一棵笛卡尔树，满足大根堆性质，即 \\(h_f_u \\geq h_u\\)。

• \\(\\textttlson[u]\\) 表示 \\(u\\) 的左儿子。
• \\(\\textttrson[u]\\) 表示 \\(u\\) 的右儿子。

\\(\\textttcode\\)：

void build(int u)

	while (top && h[u] > h[S[top]]) lson[u] = S[top--];
	rson[S[top]] = u; S[++top] = u;

其中 \\(\\texttth[u] > h[S[top]]\\) 可以使得 \\(h_f_u = h_u\\) 的取等条件为 \\(\\textttrson[f[u]] = u\\)；当然如也写成 \\(\\texttth[u] >= h[S[top]]\\)，这样取等条件就为 \\(\\textttlson[f[u]] = u\\)。

考虑 \\(\\textttdp\\)：

• 定义 \\(L_u\\) 表示以 \\(u\\) 为根的子树对应的区间的左端点。
• 定义 \\(R_u\\) 表示以 \\(u\\) 为根的子树对应的区间的右端点。
• 定义 \\(f_u\\) 表示小兔叽从第 \\(u\\) 个小木桩开始跳跃获得的总分数的最大值。
• 定义 \\(g_u\\) 表示 \\(\\max\\f_i \\ | \\ L_u < i < R_u \\\\)，严格小于，即不包含两个端点。

考虑一个结点 \\(u\\) 的状态转移：

• \\(g_u\\) 和初始值为 \\(0\\)，\\(f_u\\) 初始值为 \\(c_u\\)。

• 考虑左儿子：

  • \\(g_u = \\max\\ g_u, g_\\textttlson[u] \\\\)
  • \\(g_u = \\max\\ g_u, g_u - 1\\, u - 1 > L_u\\)
  • \\(f_u = \\max\\ f_u, c_u + g_\\textttlson[u] \\, u - 1 > L_u\\)
  • \\(f_u = \\max\\ f_u, c_u + f_L_u \\, u - 1 > L_u\\)

• 考虑右儿子：

  • \\(g_u = \\max\\ g_u, g_\\textttrson[u] \\\\)

  • \\(g_u = \\max\\ g_u, g_u + 1 \\, u + 1 > R_u\\)

  • 条件 \\(h_\\textttrson[u] = u \\wedge \\textttrson[u] > u + 1\\)：

    • \\(f_u = \\max\\ f_u, c_u + g_\\textttlson[rson[u]] \\\\)
    • \\(f_u = \\max\\ f_u, c_u + f_\\textttrson[u] - 1\\, \\textttrson[u] - 1 > u + 1\\)

  • 条件 \\(h_\\textttrson[u] \\neq u \\wedge u + 1 < R_u\\)

    • \\(f_u = \\max\\ f_u, c_u + g_\\textttrson[u] \\\\)
    • \\(f_u = \\max\\ f_u, c_u + g_R_u \\\\)

  • 条件 \\(u + 1 < R_u\\)

• 考虑 \\(u\\) 自己：

  • \\(g_u = \\max\\ g_u, f_u \\, L_u < u < R_u\\)

上面与 \\(L_u\\) 和 \\(R_u\\) 有关的判断，就是在 \\(\\textttcheck\\) 与 \\(u\\) 相邻的结点可不可以对 \\(g_u\\) 或 \\(f_u\\) 做贡献。

因为建笛卡尔树的代码中写的是 \\(\\texttth[u] > h[S[top]]\\)，所以只可能出现 \\(h_\\textttrson[u] = h_u\\)，不会出现 \\(h_\\textttlson[u] = h_u\\)。

注意事项：

• \\(f_u\\) 是在 \\(\\textttlong long\\) 范围内的，而 \\(\\sum\\limits_u = 1^n f_u\\) 可能会超出范围。
• 因为 \\(\\sum\\limits_u = 1^n f_u\\) 超出的范围不会很多，所以令 \\(\\textttmod = 10^18\\) 压 \\(2\\) 位就可以了。
• 压位的时候记住要补 \\(0\\)，同时不要出现前导 \\(0\\)。
• 使用题目给出的输入方式，不使用可能会 \\(\\textttTLE\\)。

\\(\\textttcode\\)

• \\(\\textttdp[u]\\) 表示 \\(f_u\\)。
• \\(\\textttdpp[u]\\) 表示 \\(g_u\\)。

#include <cstdio>
#include <cassert>

#define int long long
#define uint unsigned int

namespace Read

	static const int buf_size = 1 << 12;
	
	static unsigned char buf[buf_size];
	static int buf_len = 0, buf_pos = 0;
	
	inline bool isEOF()
	
		if (buf_pos == buf_len)
		
			buf_pos = 0; buf_len = fread(buf, 1, buf_size, stdin);
			if (buf_pos == buf_len) return true;
		
		return false;
	
	
	inline char readChar()
	
		return isEOF() ? EOF : buf[buf_pos++];
	
	
	inline int rint()
	
		int x = 0, fx = 1; char c = readChar();
		while (c < \'0\' || c > \'9\')  fx ^= (c == \'-\'); c = readChar(); 
		while (\'0\' <= c && c <= \'9\')  x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = readChar(); 
		if (!fx) return -x;
		return x;
	
	
	inline void read(int &x)
	
		x = rint();
	
	
	template<typename... Ts>
	inline void read(int &x, Ts &...rest)
	
		x = rint();
		read(rest...);
	
 using namespace Read;

namespace Write

	static const int buf_size = 1 << 12;
	static char buf[buf_size];
	static int buf_pos = 0;
	
	inline void flush()
	
		if (buf_pos)
		
			fwrite(buf, 1, buf_pos, stdout);
			buf_pos = 0; fflush(stdout);
		
	
	
	inline void writeChar(char x)
	
		if (buf_pos == buf_size)
		
			fwrite(buf, 1, buf_size, stdout);
			buf_pos = 0;
		
		buf[buf_pos++] = x;
	
	
	inline void write(int x, char end = 0)
	
		if (x < 0)  writeChar(\'-\'); x = -x; 
		char str[24]; int n = 0;
		do  str[n++] = ((x % 10) ^ 48); x /= 10;  while (x);
		while (n--) writeChar(str[n]);
		if (end) writeChar(end);
		flush();
	
 using namespace Write;

namespace Math

	int Max(int u, int v)  return (u > v) ? u : v; 
	int Min(int u, int v)  return (u < v) ? u : v; 
 using namespace Math;

const int inf = 1e18;
const int mod = 1e18;

const int MAX_n = 3e6;

int n, top;
int h[MAX_n + 5];
int c[MAX_n + 5];

int S[MAX_n + 5];
int L[MAX_n + 5];
int R[MAX_n + 5];
int lson[MAX_n + 5];
int rson[MAX_n + 5];

int dp[MAX_n + 5];
int dpp[MAX_n + 5];

bool vis[MAX_n + 5];

void build(int u)

	while (top && h[u] > h[S[top]]) lson[u] = S[top--];
	rson[S[top]] = u; S[++top] = u;


void tree_dp(int u)

	L[u] = R[u] = u;
	
	if (lson[u])
	
		tree_dp(lson[u]);
		L[u] = L[lson[u]];
		if (u - 1 > L[u])
		
			dp[u] = Max(dp[u], dpp[lson[u]]);
			dp[u] = Max(dp[u], dp[L[u]]);
			dpp[u] = Max(dpp[u], dp[u - 1]);
		
		dpp[u] = Max(dpp[u], dpp[lson[u]]);
	
	
	if (rson[u])
	
		tree_dp(rson[u]);
		R[u] = R[rson[u]];
		if (h[rson[u]] == h[u])
		
			int v = rson[u];
			if (v > u + 1)
			
				dp[u] = Max(dp[u], dpp[lson[v]]);
				if (v - 1 > u + 1) dp[u] = Max(dp[u], dp[v - 1]); 
			
		
		else if (u + 1 < R[u]);
		
			dp[u] = Max(dp[u], dpp[rson[u]]);
			dp[u] = Max(dp[u], dp[R[u]]);
		
		dpp[u] = Max(dpp[u], dpp[rson[u]]);
		if (u + 1 < R[u]) dpp[u] = Max(dpp[u], dp[u + 1]);
	
	dp[u] += c[u];
	if (L[u] < u && u < R[u])
		dpp[u] = Max(dpp[u], dp[u]);


signed main()

	freopen("jump.in", "r", stdin);
	freopen("jump.out", "w", stdout);
	
	n = rint();
	
	assert(1 <= n && n <= MAX_n);
	
	for (int i = 1; i <= n; build(i++))
	
		read(h[i], c[i]);
		assert(1 <= h[i] && h[i] <= 1e18);
		assert(-1e10 <= c[i] && c[i] <= 1e10);
	
	
	tree_dp(rson[0]);
	
	int res_first = 0, res_second = 0, res_xor = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	
		int now = dp[i];
		res_first += (res_second + now) / mod;
		res_second = (res_second + now) % mod;
		res_xor ^= ((now > 0) ? now : -now);
	
	if (!res_first) printf("%lld %lld\\n", res_second, res_xor);
	else printf("%lld%018lld %lld\\n", res_first, res_second, res_xor);
	
	return 0;