Manacher算法学习笔记

Posted 2023-06-19 OIerBoy

Manacher算法是什么

Manacher算法就是马拉车。
Manacher算法就是用于解决回文子串的个数的。

问题引入

P3805:【模板】manacher 算法

题目大意

给出一个只由小写英文字符 \\(\\texttt a,\\texttt b,\\texttt c,\\ldots\\texttt y,\\texttt z\\) 组成的字符串 \\(S\\) ,求 \\(S\\) 中最长回文串的长度。

算法

记录

为了找到最长的回文串的长度，我们首先就要考虑如何去把每一个回文串表示出来。
因为是回文的，所以我们可以用 \\(p_i\\) 来表示。
其中 \\(i\\) 表示回文串的中心，\\(p_i\\) 表示以第 \\(i\\) 个字符为中心的回文串的最长的回文串的半径。
但是这样我们只能表示奇数长度的回文串，而偶数回文串就不能解决。

算法推到

但是一个 \\(S\\) 的回文串个数最坏可能是 \\(n^2\\) 级别的，会 TLE。
那么我们该如何快速得到每个以 \\(i\\) 为中心的最长的长度呢？
就像做 DP 题目一样，考虑类似 DP 的转移。
考虑如何通过 \\(p_i\\) 来得到 \\(p_i+1\\)。
我们用一幅图来生动形象的体会一下：

这里我们就可以清晰的看到通过 \\(p_i\\) 得到 \\(p_i+1\\) 的两种。

• 当 \\((i-1)-q_i-1+1>i-q_i+1\\) 时，即以 \\(i-1\\) 为中心的回文串被 \\([i-p_i+1,i+p_i-1]\\) 所包含在内。
• 当 \\((i-1)-q_i-1+1\\le i-q_i+1\\) 时，即以 \\(i-1\\) 为中心的回文串并没有被 \\([i-p_i+1,i+p_i-1]\\) 所包含在内。

第一种情况是很好办的，因为 \\(i+1\\) 与 \\(i-1\\) 以 \\(i\\) 为中心对称，直接 \\(p_i+1=p_i-1\\)。
但是第二种情况就不好解决了，因为这就意味着我们似乎是要在继续判断 \\(p_i+1\\) 的最大值，好像如果运气不好的话时间复杂度就会达到 \\(O(n^2)\\)。
这时就需要考虑单调性了，\\(i\\) 就可以不是 \\(i+1\\) 的前一个点，而可能是在 \\(1\\sim i\\) 中的一个点。
想象一下，当出现第二种情况时，\\(i+1\\) 就必须要用 \\(O(n)\\) 来暴力得到 \\(p_i+1\\)，但是如果 \\(p_i+1\\) 覆盖了整个 \\([1,n]\\) 的话，后面的 \\(i+2\\sim n\\) 就都会被 \\(p_i+1\\) 所覆盖了。
即可以直接 \\(O(1)\\) 得到答案，时间复杂度也就是 \\(O(n)\\)。
所以我们可以得到结论，Manacher 的时间复杂度具有单调性，是单调不下降的。

实现

为了确保它的单调性，我们就需要一个 \\(mid\\) 来记录回文覆盖最大的点的下标，\\(mx\\) 为 \\(mid\\) 回文串的左端点。
\\(p_i\\) 的初始值就是:

\\[\\begincases1(i>mx) \\\\ \\min(mx-i+1,p_mid*2-i)(i\\le mx)\\endcases \\]

在判断 \\(a_i+p_i\\) 是否与 \\(a_i-p_i\\) 相同，相同就扩张 \\(p_i\\)。
然后在尝试用 \\(i\\) 去更新 \\(mid,mx\\) 就可以了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 12000005
#define int long long
using namespace std;
int n,mx=1,mid,ans,p[N<<2];
char a[N<<2],s[N<<1];
signed main()
	cin>>s+1;
	n=strlen(s+1);
	a[0]=\'$\';
	a[1]=\'#\';
	for(int i=1;i<=n;i++)
	a[i<<1]=s[i],
	a[(i<<1)+1]=\'#\';
	
	n=(n<<1)+2;
	a[n]=\'@\';
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(i<=mx)p[i]=min(mx-i+1,p[mid*2-i]);
		else p[i]=1;
		while(a[i+p[i]]==a[i-p[i]])++p[i];
		if(i+p[i]>mx)mx=i+p[i]-1,mid=i;
		ans=max(ans,p[i]);
	
	cout<<ans-1;
	return 0;