Manacher算法总结

Posted 2021-01-14 zenyz

之前队爷讲的时候没听懂,今天考试考到了,花时间学习一下。

推荐这篇博客，讲的很详细；

题目： LGOJ[P3805]Manacher模板

求最长回文子串

1.BF思路:

O(n)枚举对称点,再利用回文的性质向两边扩展,总复杂度O(n²)

这太不优秀了QAQ

2.可以改进的地方

之前的算法主要是枚举了重复的子串,栗子:

s="a b a b a a"

 i : 1 2 3 4 5 6

在i=3时会扩展到"a b a b a"(ps:黑体为当前对称点,以后不再说明)

而子串"a b a"在i=2时就已经被访问过了

如何避免呢?

3.马拉车Manacher算法:

正如上面所说,我们要避免重复的扩展,也就是要利用已有的信息

这里我们就要充分利用回文串的性质了

下面的栗子应该可以给你一些启发:

　　串s为已经扩展完的回文串,长度为len(假设len很大),对称点为mid(方便起见,假设len=1(mod 2))

　　(S_1,S_2,S_3...S_{mid},S_{mid+1},...,S_{len-1},S_{len})

　　用数组(r_i)记录以i为对称点的最长回文子串半径

　　显然(S_i=S_{mid*2-i}(1<=i<=mid-1))

　　假如我们现在已经知道了(r_a(a<mid)),那么(r_b(b为a的对称点))可以直接推出(想一想为什么)

这基本上就是manacher的思路了

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盗一波图:(主要是解释程序)

①其实左边的红格没啥用

②浅色的格子为i,j的回文子串

③RL就是r

在这里虽然rj很长,但是在大于Max_Right的部分你并不知道满不满足i子串回文,所以ri只能到Max_Right处

上代码

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define R register int 
 3 using namespace std;
 4 string s;
 5 char c[40000007];
 6 int ls,r[40000007];
 7 int main()
 8 {
 9     cin>>s;
10     ls=s.length();
11     R len=0;
12     c[++len]=‘!‘,c[++len]=‘#‘;
13     for(R i=0;i<ls;i++)
14     {
15         c[++len]=s[i];
16         c[++len]=‘#‘;
17     }//这样处理后不用判回文串长度奇偶(c为转换后的串)
18     R Max_Right=0,mid=0;//mid就是图中的pos
19     for(R i=1;i<=len;i++)
20     {//Max_Right是一个重要的边界,它的右边是从未触及过的点
21         if(i>Max_Right)r[i]=1;//图①(之前从未到过i,只能老老实实地往后扩展)
22         else r[i]=min(r[mid*2-i],Max_Right-i);//图②,③(分类讨论了rj与Max_Right-mid的大小关系)以及栗子的结论
23         for(;c[i+r[i]]==c[i-r[i]]&&i+r[i]<=len&&i-r[i]>0;++r[i]);//在②的浅色格或是③的蓝线两边两边继续拓展
24         if(i+r[i]>Max_Right)//更新
25         {
26             Max_Right=r[i]+i;
27             mid=i;
28         }
29     }
30     R ans=0;
31     for(R i=1;i<=len;i++)
32     {
33         ans=max(ans,r[i]);//可以发现此时新串的半径即为原串的长度
34     }
35     cout<<ans-1<<endl;
36     return 0;
37 }

 

 

　　

　　

以上是关于Manacher算法总结的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

疯子的算法总结 字符串算法之 manacher 算法 O（N）解决回文串

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