英雄的力量

Posted 2023-05-19 929code

求所有子序列最大值的平方乘以最小值的和

1. 数学规律

首先可以发现顺序对结果没有影响，对原数组按升序进行排序，方便从小到大遍历枚举
由于数据量很大，一般只会遍历一次，所以要找数学规律
考虑遍历时的无后效性，前面数组遍历完后，必然会给后面留下一个值
可以通过这个值和当前遍历值计算出以当前值为结尾的所有序列数值

找规律
考虑abcd四个数
以d为结尾的子序列分别为abcd、acd、abd、ad、bcd、bd、cd
在计算数组值的时候，最大值都为d，最小值分别为a、b、c,贡献为4、2、1，记贡献值为s
可以推断出在abcde中，adcd对以e结尾的子序列的贡献为8/4/2/1，贡献值为2s+num[i-1]
这样就可以递推计算出所有的数组值

class Solution 
public:
    int sumOfPower(vector<int> &nums) 
        const int MOD = 1e9 + 7;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int ans = 0, s = 0;//初始为0
        for (long long x: nums) 
            ans = (ans + x * x % MOD * (x + s)) % MOD; // 中间模一次防止溢出
            s = (s * 2 + x) % MOD;
        
        return ans;
    
;

[JSOI2008]魔兽地图(树形dp)

DotR (Defense of the Robots) Allstars是一个风靡全球的魔兽地图，他的规则简单与同样流行的地图DotA (Defense of the Ancients) Allstars。

DotR里面的英雄只有一个属性——力量。他们需要购买装备来提升自己的力量值，每件装备都可以使佩戴它的英雄的力量值提高固定的点数，所以英雄的力量值等于它购买的所有装备的力量值之和。装备分为基本装备和高级装备两种。基本装备可以直接从商店里面用金币购买，而高级装备需要用基本装备或者较低级的高级装备来合成，合成不需要附加的金币。装备的合成路线可以用一棵树来表示。

比如，Sange and Yasha的合成需要Sange,Yasha和Sange and Yasha Recipe Scroll三样物品。其中Sange又要用Ogre Axe, Belt of Giant Strength和 Sange Recipe Scroll合成。每件基本装备都有数量限制，这限制了你不能无限制地合成某些性价比很高的装备。

现在，英雄Spectre有M个金币，他想用这些钱购买装备使自己的力量值尽量高。你能帮帮他吗？他会教你魔法Haunt（幽灵附体）作为回报的。

Solution

极强的一道树形dp题。

我们设dp[i][j][k]表示当前正在做以i为根的子树，我们需要用j个物品用于向上合成，花费了k元能够获得的最大收益。

首先我们可以递归回溯求出每个点的价格和他的限制购买次数(这个东西是和儿子节点相关的)。

然后就枚举向上传多少个物品，在这里我们记录一个辅助数组g[i][j]表示做到了第i棵子树，背包体积为j时能够获得的最大收益。

但它可能有多个联通块，做完每个子树后我们再把它合并到一个数组里就可以了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 1e9
#define N 55
#define M 2010
using namespace std;
int dp[N][N<<1][M],g[N][M],head[N],w[N],va[N],l[N],f[N][M],tot,m,n,ji[N];
struct efr{
    int n,to,l;
}an[20009];
inline void add(int u,int v,int l){
    an[++tot].n=head[u];
    an[tot].to=v;
    an[tot].l=l;
    head[u]=tot;
}
void dfs(int u){
    if(!head[u]){
        l[u]=min(l[u],m/va[u]);//这里求出这件物品的购买限制 
        for(int i=0;i<=l[u];++i)
           for(int j=i;j<=l[u];++j)
              dp[u][i][j*va[u]]=(j-i)*w[u];//j 表示买了多少个 
        return;
    }
    l[u]=inf;
    for(int i=head[u];i;i=an[i].n){
        int v=an[i].to;
        dfs(v);
        l[u]=min(l[u],l[v]/an[i].l);//更新l得知 
        va[u]+=va[v]*an[i].l;//在这里递归计算u的价值 
    }
    l[u]=min(l[u],m/va[u]); 
    memset(g,-0x3f,sizeof(g));
    g[0][0]=0;
    for(int o=l[u];o>=0;--o){//枚举上传几个 
        int cnt=0;
        for(int i=head[u];i;i=an[i].n){
         int v=an[i].to;
         cnt++;
        for(int j=m;j>=0;--j)
          for(int k=0;k<=j;++k)
            g[cnt][j]=max(g[cnt][j],g[cnt-1][j-k]+dp[v][o*an[i].l][k]);
        }
        for(int i=0;i<=o;++i)
          for(int j=0;j<=m;++j)
             dp[u][i][j]=max(dp[u][i][j],g[cnt][j]+w[u]*(o-i)); 
    }
}
inline char rd(){
    char c=getchar();
    while(c!=‘A‘&&c!=‘B‘)c=getchar();
    return c;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
    char c;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&w[i]);
        c=rd();
        if(c==‘B‘)scanf("%d%d",&va[i],&l[i]);
        else{
            int x,y,z;
            scanf("%d",&x);
            for(int j=1;j<=x;++j){
               scanf("%d%d",&y,&z);
               add(i,y,z);
               ji[y]=1;
            } 
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      if(!ji[i]){
          dfs(i);
          cnt++;
          for(int j=0;j<=m;++j)
            for(int k=0;k<=j;++k)
              f[cnt][j]=max(f[cnt][j],f[cnt-1][j-k]+dp[i][0][k]);
      } 
   int ans=0;
   for(int i=0;i<=m;++i)
     ans=max(ans,f[cnt][i]);
   cout<<ans;
    return 0;
}