指数分布和泊松过程(Exponential Distribution and Poisson Process)--2(指数分布的例题)

Posted 2023-05-06 siranlee

例 1

Suppose that customers are in line to receive service that is provided sequentially by a server; whenever a service is completed, the next person in line enters the service facility. However, each waiting customer will only wait an exponentially distributed time with rate \\(θ\\); if its service has not yet begun by this time then it will immediately depart the system. These exponential times, one for each waiting customer, are independent. In addition, the service times are independent exponential random variables with rate \\(\\mu\\). Suppose that someone is presently being served and consider the person who is \\(n_th\\) in line.
(a) Find \\(P_n\\), the probability that this customer is eventually served.
(b) Find \\(W_n\\), the conditional expected amount of time this person spends waiting in
line given that she is eventually served.

我们手头有的信息是每一个顾客都有一个等待时间，而这个等待时间对每一个顾客都是一个参数为\\(\\theta\\)的相互独立的指数随机变量，当过了某个顾客的等待时间而这个顾客的服务还没开始，那么这个顾客就会立即离开队伍。另外还知道的是服务时间是参数为\\(\\mu\\)的指数随机变量。

问题a需要我们求第\\(n\\)个顾客最终接受服务的概率\\(P_n\\), 目标事件是这第\\(n\\)个顾客最终接受服务，而需要目标事件发生就需要前\\(n-1\\)个顾客耽搁的总时间不能超过第\\(n\\)个顾客的等待时间，也就是说第\\(n\\)个顾客的等待时间应该要比前面\\(n-1\\)个顾客耽搁的时间以及正在接受服务的那个人的剩余服务时间长。

现在将队伍中包括第\\(n\\)个人在内的\\(n\\)位顾客的等待时间以及正在接受服务的那位顾客的剩余服务时间看作\\(n+1\\)个独立的指数随机变量，根据上面的说法，如果第\\(n\\)个顾客的等待时间是这\\(n+1\\)个随机变量中的最小值，那么他将在正在接受服务的顾客接受服务时离开而不会接受到他的服务；另一方面，如果第\\(n\\)个的等待时间不是最小的，也就是说在他离开之前，队伍里或者接受服务的人离开了，此时他变为了队伍里第\\(n-1\\)个人，此时他(第\\(n-1\\)个人)接受服务的概率就相当于开始时他在第\\(n-1\\)个位置上一样(指数分布的无记忆性)。

那么根据上面的表述有：

\\(\\beginalign*P_n = &P\\第n个人接受服务|第n个人的等待时间是最小值\\P\\第n个人的等待时间是最小值\\\\\\ &+P\\第n个人接受服务|第n个人的等待时间不是最小的\\P\\第n个人的等待时间不是最小的\\\\endalign*\\)

其中容易看出第一项为0，而\\(P\\第n个人的等待时间不是最小的\\ = 1-P\\第n个人的等待时间是最小的\\\\)，而后一个概率对应于事件\\(X_i=\\min_j X_j\\), 那么有

\\(P\\第n个人的等待时间不是最小的\\ = 1-\\frac\\thetan\\theta+\\mu=\\frac(n-1)\\theta+\\mun\\theta+\\mu\\)

所以有

\\(P_n = \\frac(n-1)\\theta+\\mun\\theta+\\mu P_n-1\\)

进一步迭代这个式子给出

\\(P_n = \\frac\\theta+\\mun\\theta+\\muP_1 = \\frac\\theta+\\mun\\theta+\\mu \\frac(1-1)\\theta+\\mu\\theta+\\mu = \\frac\\mun\\theta+\\mu\\)

例2

Let \\(X_1,X_2,\\cdots,X_m\\) be independent exponential random variables with respective rates \\(\\lambda_1,\\cdots,\\lambda_m\\), where \\(\\lambda_i\\neq \\lambda_j\\) when \\(i\\neq j\\). Let \\(N\\) be independent of these random variables and suppose that \\(\\sum_n = 1^m P_n = 1\\) where \\(P_n = P\\N =n\\\\). The random variable \\(Y = \\sum_j = 1^N X_j\\) is said to be a Coxian random variable. How is the probability density of Coxian random variable?

通过对\\(N\\)取条件可以得出

\\(f_Y(t) = \\sum_n = 1^m f_Y(t|N=n)P_n = \\sum_n = 1^m P_n f_X_1+X_2+\\cdots+X_n(t)\\)

其中\\(f_X_1+X_2+\\cdots+X_n(t)\\)就是\\(n\\)个独立的不同随机变量的和的密度函数。

PS: Cox 随机变量一般以以下形式出现：假设一个部件必须经过\\(m\\)个时间段的处理才能修复，每一个时间段都有一个概率\\(P_k\\)使得该部件离开这个程序，如果假设部件通过相继的时间段的时间是指数随机变量，那么一个部件花费在这个程序中的总时间是一个Cox随机变量

Exponential Distribution指数分布

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指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

记号

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若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为 X~ E(λ).

特性

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无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布

当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)

即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

分位数

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

F^-1(P;λ)= -LN(1-P)\\λ

第一四分位数：ln(4/3)\\λ

中位数： ln(2)\\λ

第三四分位数：ln(4)/λ

分布

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在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。

应用

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在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。

指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF 的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0 的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显 然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不 能作为机械零件功能参数的分布形式。

指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。

指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。

指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ，方差为(1/λ)的平方。