树状数组

Posted 2023-05-01 929code

一. 概述

树状数组是一种支持数组的单点修改，以及求前缀和（区间求和）的一种简单数据结构，作为线段树的下位替代
简单来说，树状数组就是利用lowbit（二进制化最后一位表示的值）的性质，把n个节点串起来，隐式地构造一棵树
每个节点x的父亲是x+lowbit(x)，当前x节点左边最大的节点是x-lowbit(x)

正常来说单点修改时间复杂度为O(1),求区间和时间复杂度为O(n)
使用前缀和的时候单点修改O(n)，区间求和O(1)

树状数组属于一种折中的方法，实际上是利用lowbit和二进制位的性质实现的一种简易区间划分（相比线段树）

二. C++做题模板

    vector<int> tree;
    int lowbit(int x)//求二进制化最后一位的值
        return x&(-x);
    
    void updata(int i,int k) //在i位置加上k，O(logn)复杂度单点修改
        while(i<=n)//更新子树上所有值
            tree[i]+=k;
            i+=lowbit(i);//移动到父亲节点
        
    

    long long getsum(int i)  //求数组前i项的和
        long long res=0;
        while(i>0)//O(logn)求前缀和
            res+=tree[i];
            i-=lowbit(i);//移动到前一棵子树（子区间）
        
        return res;
    

三. 应用

1. 将数组清空

树状数组的树状数组的经典操作

参考技术A

给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一些位置上的数字,加上一个数,减去一个数,或者乘上一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一段数字的和.
算法分析
如果直接做的话,修改的复杂度是O(1),询问的复杂度是O(N),M次询问的复杂度是M*N.M,N的范围可以有100000以上,所以这样做会超时,但是如果用线段树的话,还是很不错的! 有很多线段树能实现但树状数组却实现不了的题目。
线段树解法分析
可以看出,这棵树的构造用二分便可以实现.复杂度是2*N.
每个结点用数组a来表示该结点所表示范围内的数据之和.
修改一个位置上数字的值,就是修改一个叶子结点的值,而当程序由叶子结点返回根节点的同时顺便修改掉路径上的结点的a数组的值.
对于询问的回答,可以直接查找i..j范围内的值,遇到分叉时就兵分两路,最后在合起来.也可以先找出0..i-1的值和0..j的值,两个值减一减就行了.后者的实际操作次数比前者小一些.
这样修改与维护的复杂度是logN.询问的复杂度也是logN,对于M次询问,复杂度是MlogN.
然而不难发现,线段树的编程复杂度大,空间复杂度大,时间效率也不高!!!!
所以我们来想用树形数组来实现:
那么,何为树形数组呢??
C数组就是树状数组,a数组是原数组;
对于序列a，我们设一个数组C定义C[t] = a[t – 2^k + 1] + … + a[t]，k为t在二进制下末尾0的个数。
K的计算可以这样:
2^k=t and (t xor (t-1))
以6为例
(6)10=(0110)2
xor 6-1=(5)10=(0101)2
(0011)2
and (6)10=(0110)2
(0010)2
所以问题变的很简单,重要写几个函数就可以了;
求2^k的函数代码如下: int Lowbit(int t)return t&(t^(t-1));FunctionLowbit(t:longint):longint;BeginLowbit:=tand(txor(t-1));End;求1 -- end和的函数代码如下: intSum(intend)intsum=0;while(end>0)sum+=in[end];end-=Lowbit(end);returnsum;FunctionSum(tail:longint):longint;Vars:longint;Begins:=0;whiletail>0dobegininc(s,in[tail]);dec(tail,Lowbit(tail));end;sum:=s;End;对某位进行操作函数如下(以加法为例) void plus(int pos,int num)while(pos<=n)in[pos]+=num;pos+=Lowbit(pos);Procedureplus(p,num:longint);Beginwhilep<=ndobegininc(in[p],num);inc(p,Lowbit(p));end;End.有了这三个函数整个树形数组也就基本构建成功啦!!
对于刚才的一题,每次修改与询问都是对C数组做处理.空间复杂度有3N降为N,时间效率也有所提高.编程复杂度更是降了不少.
对于lowbit可有优化 P :lowbit:=X AND(not x+1)或 X AND (-X); C: lowbit:=x &(-x)或 x & (~x+1); 求n个数中 k组提问 从t到t1个数字之和
pascal代码 programBIT_test;uses sysutils;var a,c:array[1..100000]oflongint;    n:longint;    ch:char;    i,k,t,t1:longint;    ti:double;//计时用functionLow_bit(x:longint):longint;//取出x在二进制下最右边一个1begin  exit(x and (-x));end;procedure Modify(pos,x:longint);//改变数据begin  while pos<=n do begin    inc(c[pos],x);    inc(pos,low_bit(pos))  end;end;function sum(pos:longint):longint;//1..pos求和begin  sum:=0;  while pos>0 do begin    inc(sum,c[pos]);    dec(pos,low_bit(pos));  end;end;begin  readln(n);  for i:=1 to n do begin    read(a[i]);    Modify(i,a[i]);  end;  readln;  ti:=now;  readln(k);  for i:=1 to k do begin    readln(t,t1);    writeln(sum(t1)-sum(t-1));  end;  writeln((now-ti)*86400*1000:0:0,'MS');end.