Bit的树状数组

Posted 2023-03-29

参考技术A

BIT （Binary Indexed Tree）树状数组。
其基本思想是：将原数据划分为多个区间，当要查询或更新某个数或某段数据时，只需更新到各个区间不必细化到具体的各个元素。
例有k个元素的集合，划分区间时利用函数
int lowbit(int x)
return x&(x^(x–1));（或return x&(-x)；）

求得各个区间的范围
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n）的数据结构，假设数a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
观察这个图：
令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
这里有一个有趣的性质：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：
int lowbit(int x)
return x&(x^(x–1））；（或return x&(-x）；）
当想要查询一个SUM(n）时，可以依据如下算法即可：
step1：　令sum = 0，转第二步；
step2：　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n），转第二步。
可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n）的呢？以下给出证明：
n = n – lowbit(n）这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n）个1，所以查询效率是log(n）的。
修改的时候，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n）的祖先。
所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：
step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i）转第一步。
i = i +lowbit(i）这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
对于数组求和来说树状数组十分地迅速。
算法分析：
如果直接做的话，修改的复杂度是O(1），询问的复杂度是O(N),M次询问的复杂度是M*N.M,N的范围可以有100000以上，所以这样做会超时，但是如果用bit树状数组的话，还是很不错的！

树状数组

树状数组（Binary Indexed Tree,BIT）是能够完成下述操作的数据结构。

给一个初始值全为0的数列a1,a2,...,an;

• 给定i，计算a₁+a₂+...+a_i
• 给定i和x，执行a_i += x

 

基于线段树的实现

BIT的结构

BIT的求和

BIT的值的更新

BIT的复杂度

BIT的实现

二维BIT

     ——《挑战程序设计竞赛（第二版）》