树状树组（Binary Indexed Tree （BIT））的C++部分实现

Posted 2020-06-14

一、树状数组的用处

树状树组是将一个线性数组保存为“树状”，当修改某点的值、求某个区间的和的时候能够有效的减少时间复杂度。当数组长度为N，实时对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O（M*N)。

二、树状数组的建立

假设输入数组为

vector<int> nums

将其转化为树状数组的本质在于将数组的原先顺序打乱后，经过特殊的求和方法，组合成新的数组，代码如下。关键点在于k+=k&-k，这是一个利用二进制码的特点完成树状数组下标的选取。

 1 size = nums.size();
 2 bitTree = vector<int>(size+1,0);
 3 for (int i =1;i<=size;i++)
 4 {
 5        int k=i;
 6        while (k<size+1)
 7        {
 8               bitTree[k] += nums[i-1];
 9               k += k & -k;
10         }
11  }

树状数组建立的原理：

如下图，来源自百度图片，c数组是树状数组，a数组是原先的线性数组，可以看见树状数组的元素是a数组的元素或者元素之和，其中c[8]+c[9]即是线性数组的a的总和。对于树状数组而言，其建立顺序（按下标排列）是（循环1）c[1]+=a[0];c[2]+=a[0];c[4]+=a[0];c[8]+=a[0];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环2）c[2]+=a[1];c[4]+=a[1];c[8]+=a[1];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环3）c[3]+=a[2];c[4]+=a[2];c[8]+=a[2];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环4）c[4]+=a[3];c[8]+=a[3];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环5）c[5]+=a[4];c[8]+=a[4];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环6）c[6]+=a[5];c[8]+=a[5];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环7）c[7]+=a[6];c[8]+=a[6];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环8）c[8]+=a[7];

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（循环9）c[9]+=a[8];

可见，第一次循环加的是1，2，4，8；第二次是2，4，8；第三次是3，4，8等等。其规律是第i循环中，c[k]与a[i-1]相加，而k与i的关系是k是i二进制数保留最高位1后相加的结果，比如i=2=0010，其二进制数保留最高位1后是0010，故第1个k=0010+0010=0100=4，再对k进行处理，得第二个k=8，直至k>size+1。又比如i=3=0010，其二进制数保留最高位1后是0010，第1个k=0010+0010=0100，第2个k=0100+0100=8。之所以采用这种方法因为树状数组采用了二分的思想，比如c[8]会等于a[0]~a[3]与a[4]~a[7]两部分的和。

故建立数组的关键在于求i二进制数保留最高位1后相加的结果，其方法是：令k=i，k+=k&-k，即可求得结果。

 

 

三、树状数组的更新和部分求和

更新数组：如果此时原数组中的一个元素被改变，那么树状数组中许多值需要被更新，这因为树状数组中的元素之间存在可能的联系，这种联系与树状数组下标值相关。因此更新树状数组并不是单纯的单个值替换，代码如下：

 1     void update(int i, int val) {
 2         int ret = val-nums[i];
 3         int k=i+1;
 4         while (k<size+1)
 5         {
 6             bitTree[k]+=ret;
 7             k+=k&-k;
 8         }
 9         nums[i] = val;
10     }

数组部分求和：分别先求0到i下标的和，再求0到j+1下标的和，它们之间的差即是下标i到下标j的和，数组部分求和代码如下：

 1     int sumRange(int i, int j) {
 2         int result1 = 0,result2 = 0;
 3         int k=i;
 4         while (k)
 5         {
 6             result1+=sum[k];
 7             k-=k&-k;
 8         }
 9         k=j+1;
10         while (k)
11         {
12             result2+=sum[k];
13             k -= k&-k;
14         }
15         return result2-result1;
16     }