树状数组（Binary Indexed Tree,BIT）

Posted 2020-10-07 detrol

 

 

树状数组（Binary Indexed Tree）

 

前面几篇文章我们分享的都是关于区间求和问题的几种解决方案，同时也介绍了线段树这样的数据结构，我们从中可以体会到合理解决方案带来的便利，对于大部分区间问题，线段树都有其绝对的优势，今天这篇文章，我们就来欣赏由线段树变形的另外一个数据结构－－树状数组，树状数组通常也用于解决区间求和、单点更新的问题，而且效率比线段树高一些（树状数组区间求和和单点更新的时间复杂度均为o（log n）），相对而言，线段树的应用范围可能更广泛一些。但不得不承认，树状数组确实也是一种优雅高效的结构。接下来，我们就一起来揭开它的神秘面纱。

第一点，树状数组的结构和线段树类似，但是比线段树的节点少，第二点，树状数组的每个节点中存储的也是对应范围的元素和，同时与线段树一样，树状数组也是采用数组存储结构，第三点，树状数组与线段树的下标定义规则不同。如下图所示，这是线段树的存储图：

 

我们从上篇文章（文章链接：线段树第二弹（区间更新））中可以发现，线段树的下标编码规则是由上而下、从左至右依次编码，在树状数组中，不再采用这样的编码方式，具体如何编码稍后将会解释，现在我们先来观察一下线段树的特征。

我们假设，此线段树中每个节点存储的是相应的区间范围内所有元素的和。这时我们可以发现，对于每个右孩子节点的值，我们总能通过其父亲节点值减去左兄弟节点值来计算，这就意味着，即使没有右节点，也丝毫不影响我们求解对应区间的区间和，那我们何不节省空间，但这样又引发了另外一个问题，在去掉所有的右节点之后，之前的下标编码方式肯定是用不了了，这时候我们就需要一套新的下标编码方式，既能节省这部分空间，又不会将原来的问题复杂化，最好能将问题进一步简化，这就是树状数组的产生背景。至于新的一套编码方式一路走来经历怎样的探索过程，不是我们今天要说明的重点，在此我就不作过多的解释，现在我就直接抛出树状数组最后确定版的下标编码方式，使用这个方式的原因当然是：它简单啊、好用啊、优雅啊，何以见得？等看完这篇文章，你大概就能体会到它的魅力了。

如下图所示为树状数组的逻辑结构，其中每个节点中存储的依然是对应区间的元素和：

这是树状数组的逻辑结构，其中方块中的数字表示对应区间的下标范围，红色字体表示节点的下标，图中的蓝色粗线条将每个节点和其对应的下标连接（线条这么粗，大概不会有人看不清楚了吧）。乍一看觉得节点下标的编码方式似乎有点无理取闹，同一层级的两个节点竟然下标不相连，这是什么逻辑？每当我们感觉走投无路的时候，也就是我们需要重新审视手里掌握的所有线索的时候，只有不放过任何一个细微的线索，才能找到破解之法。不妨我们就将所有能观察到的线索一一列出。

上面我们介绍的其实是树状数组的逻辑结构，它的物理存储就是一个一维的数组。我们将上图的特征制表如下：

观察上表，我们可以得出如下结论：

一、节点下标为 i 时，节点中对应的最后一个元素下标为 i 

二、节点下标对应的二进制数末尾有 k 个 0 ，节点中对应的元素个数为 2 ^ k 

三、节点中对应的元素下标是连续的

四、树状数组的节点个数和原数据元素个数相等

 

以上便是树状数组的主要基本特征，知道了这些特征之后，我们可以发现，要改变原数据数组中的一个元素值，在树状数组中最多需要更改 o（log n）个节点值，因此单点更新的时间复杂度为 o（log n）。单点更新的具体实现怎么做，在文章末尾会向大家展示，现在先继续讨论接下来的问题。

这时候我们会发现，刚才所列出来的所有特征，似乎没什么用得上的，就像在生活中我们手里掌握的零碎的知识、技能、人脉等看起来是一片散沙，我们不知道什么时候才会用得到，甚至穷尽一生也不可能全都用得到，但是一旦有机会用，我们才能真正意识到那些是多么的重要，其中的联系是多么紧密。与其说学习算法是在学一门技术，不如说是在学习一门艺术，因为在此期间接触到的很多方法都可以从生活中找到影子。所以我们暂时不要灰心，继续研究，也许更深入些，这些琐碎的特征就会变得有用。

 

树状数组方便处理的其实是“前 i 个元素和”这种问题，

以上图为例：

前 1 个元素和为

 sum[1] = sum[0001] = tree［1］= tree[0001]

前 2 个元素和为

 sum[2] = sum[0010] = tree［2］=tree[0010]

前 3 个元素和为

 sum[3] = sum[0011] = tree［2］＋tree［3］= tree[0011] + tree[0010]

前 4 个元素和为

sum[4] =sum[0100] = tree［4］= tree[0100]

前 5 个元素和为

sum[5] = sum[0101]= tree［4］＋tree［5］=tree[0101]+tree[0100]

前 6 个元素和为

sum[6] = sum[0110] = tree［4］＋tree［6］= tree[0110] + tree[0100]

前 7 个元素和为

sum[7]=sum[0111]=tree[7]+tree[6]+tree[4]=tree[0111]+tree[0110]+tree[0100]

前 8 个元素和为 

sum[8] = sum[1000] = tree［8］= tree[1000]

红色部分是下标的二进制表示形式，我觉得到目前为止，我们可能真的是走投无路，才无所不用其极，连下标也不放过。仔细观察这些下标，似乎还是有一定的规律可循的，现在我们就挑一个表达式最长，能说明问题的来研究一下

sum[7]=sum[0111]=tree[7]+tree[6]+tree[4]=tree[0111]+tree[0110]+tree[0100]

由上述表达式可以发现，前7个元素和 sum[0111] 的加数包括 tree[0111], 在此基础上，每次将下标从右向左数第一位 1 抹去作为下一个加数的下标， 直到数字变为 0 结束，0111 抹去最后一位 1 得到 0110，0110 抹去最后一位 1 得到 0100，0100 抹去最后一位 1 得到 0000 结束运算。这似乎勉强可以算作一个规律吧，经过验证发现，以上所有的表达式均符合这个规律。在此我可以告诉大家，经过无数的高手验证，这个规律确实存在，所以我们可以大胆的使用。

但是，在我们用话语描述的时候，可以说抹掉最后一位 1 ，在实际的实现中，我们就需要用规范的语言来表达，要想达到抹掉最后一位 1 的效果，就需要减去一个数 x ，将 0111 抹掉最后一位 1 得到 0110 时，x = 0001,将0110抹掉最后一位 1 得到 0100 时，x ＝ 0010 ，将 0100 抹掉最后一位 1 时，x ＝ 0100 。也就意味着，原数值需要抹掉哪一位，那么 x 的哪一位就为 1 ，其余各位均为 0 。如何求原数值最后一位 1 是哪一位呢？我们可以发现原数值末位有 k 个 0 时，x ＝ 2 ^ k，现在，我们前面列出来的特征就有联系了。目前我们的任务就是求 k 的值，当然对于人来说，一眼看出一个数末尾有几个0简直易如反掌，但对于计算机，似乎没那么容易，这时候如果将原数值的二进制数看作整体，似乎不合理，我们需要将其各位分离，这就用到了位运算。对于当前的问题，有一个求解技巧可以分享给大家，我们都知道在计算机内部两数的运算用的是补码实现的，对于正数来说，补码和原码形式是一样的，但对于负数来说，补码便是将原码按位取反后在末位加 1 ，这就导致一个负数绝对值的补码和这个负数的补码在形式上满足：以从右向左数第一个非零位为界，在左侧，负数绝对值的补码和负数的补码各位均不相同，在右侧，负数绝对值的补码和负数的补码各位均为0，将两数做 and 运算得到的数字刚好就是我们需要求的 x ，我们知道 负数的绝对值和负数本身互为相反数，同时也说明一个正数的补码与其相反数的补码做 and 运算 得到的数字就是 x 。

验证实例如下：

1 &(-1)补码运算 : 0001 & 1111 = 0001

2 &(-2)补码运算 : 0010 & 1110 = 0010

3 &(-3)补码运算 : 0011 & 1101 = 0001

4 &(-4)补码运算 : 0100 & 1100 = 0100

5 &(-5)补码运算 : 0101 & 1011 = 0001

6 &(-6)补码运算 : 0110 & 1010 = 0010

7 &(-7)补码运算 : 0111 & 1001 = 0001

8 &(-8)补码运算 : 1000 & 1000 = 1000

由此，我们得到每次的减数 x ＝i & ( -i )

 

至此，求 前 n 项和的规律已经找到，我们的任务就是将这个规律用规范的语句描述并尝试着用代码实现。

求和具体实现描述如下：

假设 当前求前 i 项 之和

 

第一步：判断 i > 0 是否成立。如果成立进行下一步，否则退出循环

第二步：sum = sum + tree[ i ] , x= i &(-i)

第三步：i = i - x ，回到第一步

 

知道了前 i 项和的求解方法之后，要求解区间和相对来说就容易多了，例如求解区间为 i ～ j ，显然，我们就可以得知 

sum[ i~j ] = sum [ j ] - sum [ i ]  。

 

解决了前 i 项和的问题之后，现在我们再回过头来分析单点更新的问题，还是刚才的图：

假设我们现在要修改的元素在原数据中下标为 3 ，那么在树状数组中，我们需要修改的节点下标分别为 3 、4、8

还是按照刚才的分析方法，在原数据中待修改元素下标为 3 ＝ 0011

在树状数组中，需要修改的节点下标为 3 ＝ 0011、4 ＝0100、8 ＝1000，

观察发现，0011 ＋0001 ＝ 0100 ，0100 ＋0100 ＝ 1000 ，发现规律了吗？x 值依然是刚才的求法，现在是每次给当前的下标值加 x 就得到下一个加数的下标值，直到下标值大于元素的总个数停止。具体的实例不过多赘述，大家可以自己私下验证。

单点更新的具体描述如下：(假设更新的规则是给 下标为 i 的元素加 y )

假设待更新元素下标为 i  ，元素总个数为 n 

 

第一步：判断 i <= n 是否成立，成立则进行下一步，不成立结束循环

第二步：tree[ i ] = tree[ i ] + y , x = i & ( -i ) ，进行下一步

第三步：i ＝ i ＋ x ，跳回第一步

 

 

以上就是今天内容的理论部分，下面为大家奉上核心代码实现部分，希望今天的分享能让大家有收获。代码如下：

除了并查集，这应该是见过的最精简最优雅最高效的代码了。

 

还没有关注公众号的朋友可以长按下图识别图中二维码关注我。

 

 

老规矩，打开网页http://paste.ubuntu.com/25548013/查看网页版代码。