相关概念
对于一个图G=(V, E)，求图中两点u， v间最短路径长度，称为图的最短路径问题。最短路径中最长的称为图的直径。
其中，求图中确定的某两点的最短路径算法，称为单源最短路径算法。求图中任意两点间的最短路径算法，称为多源最短路径算法。
常用的路径算法有：
- Dijkstra算法
- SPFA算法\\Bellman-Ford算法
- Floyd算法\\Floyd-Warshall算法
- Johnson算法
其中最经典的是Dijkstra算法和Floyd算法。Floyd算法是多源最短路径算法，可以直接求出图中任意两点间的距离，因此只要取其中最大的就可以得到图的直径。
Floyd算法
算法思想
假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离(最短路径长度)，对于每一个节点k，检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，说明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，便记录Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)。因此，当遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
算法特点
- 使用了动态规划思想
- 可以计算无向图或有向图
- 核心代码简短(五行)
- 可以一次性计算出任意两点间的距离
- 算法复杂度O(n^3)，是一个好算法
一个关键性问题
在判断Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)这个公式时，如果经过k的距离更短就选择k，但是这能否保证此时Dis(i,k)和Dis(k,j)已经取得了最小值呢？
答案是肯定的，可以用数学归纳法证明，参考这篇博客
示例
待求直径的图G
程序输入
2（表示无向图）
8 9 （表示8个顶点，9条边）
1 2 5 （表示顶点1和顶点2之间的距离权重是5）
... ...
程序输出
（邻接矩阵，矩阵元素M[i][j]表示顶点Vi与Vj间的距离）
（各个顶点间的最短路径以及路径长度，对于此例，顶点V4与V6或V8间的距离都是10，是距离最远的两个顶点对）
（此图的直径）
Python源代码
# ----------------------------------------------
# Project： calculate diameter of graph
# Using floyd algorithm
# ----------------------------------------------
# define function: print shortest path
def getPath(i, j):
if i != j:
if path[i][j] == -1:
print(\'-\', j+1, end=\'\')
else:
getPath(i, path[i][j])
getPath(path[i][j], j)
def printPath(i, j):
print(\' Path:\', i+1, end=\'\')
getPath(i, j)
print()
print(\'---------------- Program start ----------------\')
# read data
flag = input(\'please input type of graph(1:directed \'
\'graph; 2:undirected graph): \')
vertex, edge = input(\'please input the number of \'
\'vertex and edge: \').strip().split()
# initialized
flag = int(flag)
vertex = int(vertex)
edge = int(edge)
inf = 99999999
dis = [] # matrix of the shortest distance
path = [] # record the shortest path
for i in range(vertex):
dis += [[]]
for j in range(vertex):
if i == j:
dis[i].append(0)
else:
dis[i].append(inf)
for i in range(vertex):
path += [[]]
for j in range(vertex):
path[i].append(-1)
# read weight information
print(\'please input weight info(v1 v2 w[v1,v2]): \')
for i in range(edge):
u, v, w = input().strip().split()
u, v, w = int(u)-1, int(v)-1, int(w)
if flag == 1:
dis[u][v] = w
elif flag == 2:
dis[u][v] = w
dis[v][u] = w
print(\'the weight matrix is:\')
for i in range(vertex):
for j in range(vertex):
if dis[i][j] != inf:
print(\'%5d\' % dis[i][j], end=\'\')
else:
print(\'%5s\' % \'∞\', end=\'\')
print()
# floyd algorithm
for k in range(vertex):
for i in range(vertex):
for j in range(vertex):
if dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]:
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]
path[i][j] = k
print(\'===========================================\')
# output the result
print(\'output the result:\')
if flag == 1:
for i in range(vertex):
for j in range(vertex):
if (i != j) and (dis[i][j] != inf):
print(\'v%d ----> v%d tol_weight:\'
\'%3d\' % (i+1, j+1, dis[i][j]))
printPath(i, j)
if (i != j) and (dis[i][j] == inf):
print(\'v%d ----> v%d tol_weight:\'
\' ∞\' % (i+1, j+1))
printPath(i, j)
if flag == 2:
for i in range(vertex):
for j in range(i+1, vertex):
print(\'v%d <----> v%d tol_weight:\'
\'%3d\' % (i+1, j+1, dis[i][j]), \'\', end=\'\')
printPath(i, j)
print()
for i in range(vertex):
for j in range(vertex):
if dis[i][j] == inf:
dis[i][j] = 0
# max(max(dis)): the max item of two dimension matrix
print(\'>> the diameter of graph: %d <<\' % max(max(dis)))
print(\'-------------- Program end ----------------\')
Reference
最短路径_百度百科
最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
最短路径问题---Floyd算法详解 - CSDN博客
Floyd算法(记录路径) - CSDN博客