最短路径算法之Floyd算法

Posted 2021-04-28 Python那些事

Floyd算法简称F算法由Robert W. Floyd（罗伯特·弗洛伊德）于1962年发表提出的，解决了图中任意节点间的最短路径问题。

以下图中的城市的道路为例：

上图中有4个城市8条公路，公路上的数字表示这条公路的长短。请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。

现在需要一个数据结构来存储图的信息，我们仍然可以用一个4*4的矩阵（二维数组G）来存储。比如1号城市到2号城市的路程为2，则设G[1][2]的值为2。2号城市无法到达4号城市，则设置G[2][4]的值为∞。另外此处约定一个城市自己是到自己的也是0，例如G[1][1]为0，具体如下。

现在回到问题：如何求任意两点之间最短路径呢？通过之前的学习我们知道通过D算法可以求一点到其它节点的最短路径。所以进行n次D算法，便可以求得任意两点之间的最短路径。可是还有没有别的方法呢？

我们来想一想，根据我们以往的经验，如果要让任意两点（例如从顶点a点到顶点b）之间的路程变短，只能引入第三个点（顶点k），并通过这个顶点k中转即a->k->b，才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。那么这个中转的顶点k是1~n中的哪个点呢？甚至有时候不只通过一个点，而是经过两个点或者更多点中转会更短，即a->k1->k2->b或者a->k1->k2…->ki…->b。比如上图中从4号城市到3号城市（4->3）的路程G[4][3]原本是12。如果只通过1号城市中转（4->1->3），路程将缩短为11（G[4][1]+G[1][3]=5+6=11）。其实1号城市到3号城市也可以通过2号城市中转，使得1号到3号城市的路程缩短为5（G[1][2]+G[2][3]=2+3=5）。所以如果同时经过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10。通过这个的例子，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。

当任意两点之间不允许经过第三个点时，这些城市之间最短路程就是初始路程，如下：

如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，应该如何求呢？只需判断G[i][1]+G[1][j]是否比G[i][j]要小即可。G[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。G[i][1]+G[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环。

通过上图我们发现：在只通过1号顶点中转的情况下，3号顶点到2号顶点（G[3][2]）、4号顶点到2号顶点（G[4][2]）以及4号顶点到3号顶点（G[4][3]）的路程都变短了。

接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。如何做呢？我们需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断G[i][2]+G[2][j]是否比G[i][j]要小。

在只允许经过1和2号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：

通过上图得知，在相比只允许通过1号顶点进行中转的情况下，这里允许通过1和2号顶点进行中转，使得G[1][3]和G[4][3]的路程变得更短了。

同理，继续在只允许经过1、2和3号顶点进行中转的情况下，求任意两点之间的最短路程。任意两点之间的最短路程更新为：

最后允许通过所有顶点作为中转，任意两点之间最终的最短路程为：

算法代码实现如下：

import copy

maxDis = 1000000

def Floyd(G):
    n = len(G)
    path = copy.deepcopy(G)
    for k in range(0, n):
        for i in range(0, n):
            for j in range(0, n):
                path[i][j] = min(path[i][j], path[i][k] + path[k][j])
    return path

if __name__ == '__main__':
    G = [
        [0, 2, 6, 4],
        [maxDis, 0, 3, maxDis],
        [7, maxDis, 0, 1],
        [5, maxDis, 12, 0],
    ]
    path = Floyd(G)
    for i in range(0, len(G)):
        print path[i]

今天，你学会了Floyd最短路径算法了吗？