最短路径的弗洛伊德算法我曾经想出不严格的证明，不满意，严格的数学证明，我无法想出来，如何得到？

Posted 2023-05-03

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三重循环中顶点的排序顺序可能无关乎。如何证明？
由原先的外循环调到内循环行不行
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关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：2016.04.22
经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
设k = n+1是最后一点。
任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
所以弗洛伊德算法成立。

参考技术A 看下于丹讲的论语 绝对对你管用 要用心去领会《论语》心得(一)《天地人之道》 mms://winmedia.cctv/baijiajiangtan/2006/11/baijiajiangtan_300。

弗洛伊德算法

弗洛伊德算法

• Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
• 该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
• 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
• 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
• 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。
  

    /**
     * 存放顶点的数组
     */
    private String[] data;
    /**
     * 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离
     */
    private int[][] dis;
    /**
     * 保存到达目标顶点的前驱顶点
     */
    private int[][] pre;

    public FloydAlgorithm(String[] data, int[][] dis) {
        this.data = data;
        this.dis = dis;
        this.pre = new int[data.length][data.length];
        for (int i = 0; i < pre.length; i++) {
            Arrays.fill(pre[i], i);
        }
    }


    public void floydAlgorithm() {
        int len = 0;
        // 1. 对中间顶点遍历， k就是中间顶点的下标
        for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
            // 2. 从i顶点开始出发
            for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                // 3. 到达j顶点
                for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
                    len = dis[i][k] + dis[k][j];
                    if (len < dis[i][j]) {
                        dis[i][j] = len;
                        pre[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }

    public void show(){
        for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
            for (int j = 0; j < dis[i].length; j++) {
                System.out.print(data[i]+"==>"+data[j]+"最短路径为："+dis[i][j]+"	");
            }
            System.out.println();
        }
    }


    public static void main(String[] args) {
        // 测试看看图是否创建成功
        String[] data = {"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G"};
        //创建邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[data.length][data.length];
        final int N = 65535;
        matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};
        matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};
        matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};
        matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};
        matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};
        matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};
        matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};
        FloydAlgorithm floydAlgorithm = new FloydAlgorithm(data, matrix);
        floydAlgorithm.floydAlgorithm();
        floydAlgorithm.show();
    }