一道初中数学几何题

Posted 2023-04-15 DengStar

一道初中数学几何题

题目来源：某秃头老师

题面

\\(\\triangle ABD\\) 和 \\(\\triangle CBD\\) 是两个全等的直角三角形。其中，\\(\\angle A = \\angle C = 90 ^\\circ\\)，\\(AB = CB = 5\\)，\\(CD = AD = 12\\)。\\(M\\)，\\(N\\) 分别是线段 \\(AB\\)，\\(CD\\) 上的两个动点，且 \\(AM = CM\\)。连接线段 \\(MN\\)，求 \\(MN\\) 的最小值。

解法 #1

\\(M\\)，\\(N\\) 两个点都是动点，相互不挨着，这不便于我们思考。考虑把线段 \\(AM\\) 平移，是它的一个端点与线段 \\(AN\\) 的一个端点重合。平移的方法或许不是唯一的，而且都可能帮助我们找到答案，下面是其中的一种平移方法：把点 \\(M\\) 平移到 点 \\(N\\) 上，使得点 \\(N\\)，\\(M\\) 重合，点 \\(A\\) 的对应点为 \\(A\'\\)。

平移后，可以很自然地想到把点 \\(A\\) 和 \\(A\'\\) 连起来。因为 \\(A\'N\\) 是 \\(AM\\) 平移过来的线段，所以四边形 \\(AMNA\'\\) 不就是一个平行四边形吗？根据平行四边形的性质，\\(MN = AA\'\\)，这样我们就把要求的线段 \\(MN\\) 转移到了 \\(AA\'\\) 上。这么转移有一个很大的好处：线段 \\(AA\'\\) 的一个端点 \\(A\\) 是定点。于是两个动点的问题就变成了一个动点的问题，这无疑方便了我们的思考。

对于动点问题，一个常见的套路是先找出动点的运动轨迹（如果题目中没说的话），这通常会有助于找到答案。而找到运行轨迹通常会和某些定值有关。就拿这道题举例子，如果能证明线段 \\(AA\'\\) 的长度是一个定值，因为点 \\(A\\) 是定点，那么动点 \\(A\'\\) 的运动轨迹显然就是一个以 \\(A\\) 为圆心的圆了。或者如果连接点 \\(C\\) 和 \\(A\'\\)，然后发现 \\(\\angle DCA\\) 等于一个定值 \\(\\alpha\\)，那么 \\(A\'\\) 的运动轨迹就是一条射线。

回到这道题中，我们具体该怎么做呢？事实上，这一步确实比较棘手。它的棘手之处不在于你知道答案之后感到难以理解，其实跟着答案的思路走是很容易理解的。难点在于自己做题时，怎么想出方法？下面我要做几条辅助线，你或许会不理解为什么要这么连接。这种连接方法大概可以说是数学题做多的人的一种直觉，认为这么连接是有用的（其实我上课听老师讲的时候也没有搞懂，老师说“看着就像”）。反正一道题的解题方法往往不是一种，没准这么连就有用呢？如果连了几条辅助线，然后发现一点用都没有，这也是常见的，毕竟做题的过程离不开试错。

如图，连接线段 \\(CA\'\\)，\\(AC\\)。延长 \\(CA\'\\) 交线段 \\(AD\\) 于点 \\(Q\\)，延长 \\(NA\\) 交 线段 \\(AD\\) 于点 \\(P\\)。

设 \\(\\angle ABD = \\alpha\\)，则 \\(\\angle CBD = \\alpha\\)， \\(\\angle DNP = 90 ^\\circ - 2\\alpha\\)。因为 \\(CN = NA\'\\)，所以 \\(\\angle DCQ = \\angle CA\'N\\)。又因为 \\(\\angle DNP\\) 是 \\(\\triangle CNA\'\\) 的外角，所以 \\(\\angle DCQ = \\dfrac12 \\angle DNP = 45 ^\\circ - \\alpha\\)。

\\(\\triangle ABD\\) 和 \\(\\triangle CBD\\) 可以看作是关于直线 \\(BD\\) 对称的两个三角形，那么线段 \\(AC\\) 就相当于对称点的连线，所以 \\(BD \\perp AC\\)，进而得到 \\(\\angle BCR = \\alpha\\)。

然后我们就发现：\\(\\angle ACA\' = \\angle BCD - \\angle BCA - \\angle DCQ = 90 ^\\circ - \\alpha - (45 ^\\circ - \\alpha) = 45 ^\\circ\\)，这是个定值！也就是说，\\(A\'\\) 在与 \\(AC\\) 的夹角为 \\(45 ^\\circ\\) 的射线上运动！

接下来事情就好办了。既然知道 \\(A\'\\) 在一条直线（或者说射线，在这里无所谓）上运动，问题就转化成了求点 \\(A\\) 到直线 \\(CQ\\) 的距离，也就是垂线段的长度。下面的步骤就非常常规了，在此只做简要讲解。

根据射影定理，\\(AB^2 = BR \\times BD\\)，变形得 \\(BR =\\dfracAB^2BD =\\dfrac2512\\)。根据勾股定理，\\(AR = \\sqrtAB^2 - BR^2 = \\dfrac6013\\)。因为 \\(\\angle CAA\' = \\angle NCA\' = 45 ^\\circ\\)，所以 \\(AA\'\' = \\sqrt2AR = \\dfrac60 \\sqrt213\\)。

因此，\\(MN\\) 的最小值为 \\(\\dfrac60\\sqrt213\\)。

解法 #2、3

忘了

MT282一道几何题

2010浙江省数学竞赛,附加题. 设$D,E,F$分别为$\\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\\alpha=\\dfrac{BD}{BC},\\beta=\\dfrac{BD}{BC},\\gamma=\\dfrac{AF}{AB}$

2010浙江省数学竞赛,附加题.
设$D,E,F$分别为$\\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\\alpha=\\dfrac{BD}{BC},\\beta=\\dfrac{BD}{BC},\\gamma=\\dfrac{AF}{AB}$

证明:$S_{\\Delta DEF}\\ge\\alpha\\beta\\gamma S_{\\Delta ABC}$

证明:
$S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AFE}-S_{BDF}-S_{DCE}$
$=S_{ABC}(1-\\sum\\limits_{cyc}\\alpha(1-\\beta))$
故只需证明:
$\\alpha\\beta\\gamma\\le1-\\sum\\limits_{cyc}\\alpha(1-\\beta)$
即证:
$(1-\\alpha)(1-\\beta)(1-\\gamma)\\ge0$显然成立.