MT282一道几何题
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2010浙江省数学竞赛,附加题.
设$D,E,F$分别为$\\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\\alpha=\\dfrac{BD}{BC},\\beta=\\dfrac{BD}{BC},\\gamma=\\dfrac{AF}{AB}$
证明:$S_{\\Delta DEF}\\ge\\alpha\\beta\\gamma S_{\\Delta ABC}$
证明:
$S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AFE}-S_{BDF}-S_{DCE}$
$=S_{ABC}(1-\\sum\\limits_{cyc}\\alpha(1-\\beta))$
故只需证明:
$\\alpha\\beta\\gamma\\le1-\\sum\\limits_{cyc}\\alpha(1-\\beta)$
即证:
$(1-\\alpha)(1-\\beta)(1-\\gamma)\\ge0$显然成立.
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