如何在Python中实现这五类强大的概率分布

Posted 2023-04-04

要使用Python实现一些离散和连续的概率分布。虽然我不会讨论这些分布的数学细节，但我会以链接的方式给你一些学习这些统计学概念的好资料。在讨论这些概率分布之前，我想简单说说什么是随机变量（randomvariable）。随机变量是对一次试验结果的量化。举个例子，一个表示抛硬币结果的随机变量可以表示成PythonX=1如果正面朝上,2如果反面朝上12X=1如果正面朝上,2如果反面朝上随机变量是一个变量，它取值于一组可能的值（离散或连续的），并服从某种随机性。随机变量的每个可能取值的都与一个概率相关联。随机变量的所有可能取值和与之相关联的概率就被称为概率分布（probabilitydistributrion）。我鼓励大家仔细研究一下scipy.stats模块。概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。离散概率分布也称为概率质量函数（probabilitymassfunction）。离散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoullidistribution）、二项分布（binomialdistribution）、泊松分布（Poissondistribution）和几何分布（geometricdistribution）等。连续概率分布也称为概率密度函数（probabilitydensityfunction），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。正态分布（normaldistribution）、指数分布（exponentialdistribution）和β分布（betadistribution）等都属于连续概率分布。若想了解关于离散和连续随机变量的知识，你可以观看可汗学院关于概率分布的视频。二项分布（BinomialDistribution）服从二项分布的随机变量X表示在n个独立的是/非试验中成功的次数，其中每次试验的成功概率为p。E(X)=np,Var(X)=np(1−p)如果你想知道每个函数的原理，你可以在IPython笔记本中使用helpfile命令。E(X)表示分布的期望或平均值。键入stats.binom?了解二项分布函数binom的信息。二项分布的例子：抛掷10次硬币，恰好两次正面朝上的概率是多少？假设在该试验中正面朝上的概率为0.3，这意味着平均来说，我们可以期待有3次是硬币正面朝上的。我定义掷硬币的所有可能结果为k=np.arange(0,11)：你可能观测到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用stats.binom.pmf计算每次观测的概率质量函数。它返回一个含有11个元素的列表（list），这些元素表示与每个观测相关联的概率值。您可以使用.rvs函数模拟一个二项随机变量，其中参数size指定你要进行模拟的次数。我让Python返回10000个参数为n和p的二项式随机变量。我将输出这些随机变量的平均值和标准差，然后画出所有的随机变量的直方图。泊松分布（PoissonDistribution）一个服从泊松分布的随机变量X，表示在具有比率参数（rateparameter）λ的一段固定时间间隔内，事件发生的次数。参数λ告诉你该事件发生的比率。随机变量X的平均值和方差都是λ。E(X)=λ,Var(X)=λ泊松分布的例子：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生4次事故的概率是多少？让我们考虑这个平均每天发生2起事故的例子。泊松分布的实现和二项分布有些类似，在泊松分布中我们需要指定比率参数。泊松分布的输出是一个数列，包含了发生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用结果生成了以下图片。你可以看到，事故次数的峰值在均值附近。平均来说，你可以预计事件发生的次数为λ。尝试不同的λ和n的值，然后看看分布的形状是怎么变化的。现在我来模拟1000个服从泊松分布的随机变量。正态分布（NormalDistribution）正态分布是一种连续分布，其函数可以在实线上的任何地方取值。正态分布由两个参数描述：分布的平均值μ和方差σ2。E(X)=μ,Var(X)=σ2正态分布的取值可以从负无穷到正无穷。你可以注意到，我用stats.norm.pdf得到正态分布的概率密度函数。β分布（BetaDistribution）β分布是一个取值在[0,1]之间的连续分布，它由两个形态参数α和β的取值所刻画。β分布的形状取决于α和β的值。贝叶斯分析中大量使用了β分布。当你将参数α和β都设置为1时，该分布又被称为均匀分布（uniformdistribution）。尝试不同的α和β取值，看看分布的形状是如何变化的。指数分布（ExponentialDistribution）指数分布是一种连续概率分布，用于表示独立随机事件发生的时间间隔。比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。我将参数λ设置为0.5，并将x的取值范围设置为$[0,15]$。接着，我在指数分布下模拟1000个随机变量。scale参数表示λ的倒数。函数np.std中，参数ddof等于标准偏差除以$n-1$的值。/81321/ 参考技术A R编程语言已经成为统计分析中的事实标准。但在这篇文章中，我将告诉你在Python中实现统计学概念会是如此容易。我要使用Python实现一些离散和
连续的概率分布。虽然我不会讨论这些分布的数学细节，但我会以链接的方式给你一些学习这些统计学概念的好资料。在讨论这些概率分布之前，我想简单说说什么
是 随机变量（random variable） 。随机变量是对一次试验结果的量化。

举个例子，一个表示抛硬币结果的随机变量可以表示成

X = 1 如果正面朝上,

2 如果反面朝上

随机变量是一个变量，它取值于一组可能的值（ 离散 或 连续 的），并服从某种 随机性 。随机变量的每个可能取值的都与一个概率相关联。随机变量的所有可能取值和与之相关联的概率就被称为 概率分布（probability distributrion） 。

我鼓励大家仔细研究一下 scipy.stats 模块。

概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。

离散概率分布也称为 概率质量函数（probability mass function） 。离散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和几何分布（geometric distribution）等。

连续概率分布也称为 概率密度函数（probability density function） ，它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。正态分布（normal distribution）、指数分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都属于连续概率分布。

若想了解更多关于离散和连续随机变量的知识，你可以观看可汗学院关于概率分布的 视频 。

二项分布（Binomial Distribution）

服从二项分布的随机变量X表示在n个独立的是/非试验中成功的次数，其中每次试验的成功概率为p。

E(X) = np, Var(X) = np(1−p)

如果你想知道每个函数的原理，你可以在IPython笔记本中使用 help file 命令。 E(X)表示分布的期望或平均值。

键入 stats.binom? 了解二项分布函数 binom 的更多信息。

二项分布的例子：抛掷10次硬币，恰好两次正面朝上的概率是多少？

假设在该试验中正面朝上的概率为0.3，这意味着平均来说，我们可以期待有3次是硬币正面朝上的。我定义掷硬币的所有可能结果为 k = np.arange(0,11) ：你可能观测到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用 stats.binom.pmf 计算每次观测的概率质量函数。它返回一个含有11个元素的列表（list），这些元素表示与每个观测相关联的概率值。

您可以使用 .rvs 函数模拟一个二项随机变量，其中参数 size 指定你要进行模拟的次数。我让Python返回10000个参数为n和p的二项式随机变量。我将输出这些随机变量的平均值和标准差，然后画出所有的随机变量的直方图。

泊松分布（Poisson Distribution）

一个服从 泊松分布 的随机变量X，表示在具有比率参数（rate parameter）λ的一段固定时间间隔内，事件发生的次数。参数λ告诉你该事件发生的比率。随机变量X的平均值和方差都是λ。

E(X) = λ, Var(X) = λ

泊松分布的例子：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生4次事故的概率是多少？

让我们考虑这个平均每天发生2起事故的例子。泊松分布的实现和二项分布有些类似，在泊松分布中我们需要指定比率参数。泊松分布的输出是一个数列，包含了发生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用结果生成了以下图片。

你可以看到，事故次数的峰值在均值附近。平均来说，你可以预计事件发生的次数为λ。尝试不同的λ和n的值，然后看看分布的形状是怎么变化的。

现在我来模拟1000个服从泊松分布的随机变量。

正态分布（Normal Distribution）

正态分布 是一种连续分布，其函数可以在实线上的任何地方取值。正态分布由两个参数描述：分布的平均值μ和方差σ2 。

E(X) = μ, Var(X) = σ2

正态分布的取值可以从负无穷到正无穷。你可以注意到，我用 stats.norm.pdf 得到正态分布的概率密度函数。

β分布（Beta Distribution）

β分布是一个取值在 [0, 1] 之间的连续分布，它由两个形态参数α和β的取值所刻画。

β分布的形状取决于α和β的值。贝叶斯分析中大量使用了β分布。

当你将参数α和β都设置为1时，该分布又被称为均匀分布（uniform distribution）。尝试不同的α和β取值，看看分布的形状是如何变化的。

指数分布（Exponential Distribution）

指数分布是一种连续概率分布，用于表示独立随机事件发生的时间间隔。比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

我将参数λ设置为0.5，并将x的取值范围设置为 $[0, 15]$ 。

接着，我在指数分布下模拟1000个随机变量。 scale 参数表示λ的倒数。函数 np.std 中，参数 ddof 等于标准偏差除以 $n-1$ 的值。

如何在python中实现概率分布的合并？

【中文标题】如何在python中实现概率分布的合并？

【英文标题】：How to implement Conflation for probability distribution in python?

【发布时间】：2021-01-28 10:26:09

【问题描述】：

我在网上寻找将几个连续概率分布组合成一个连续概率分布的方法。这种方法称为 Conflation，方法可以在以下文章中找到：An Optimal Method for Consolidating Data from Different Experiments。在这篇文章中，我发现执行 Conflation 比求平均来组合分布更好。

根据我从文章中了解到的情况，该方程通过将来自多个概率分布的每个概率密度值除以来自多个概率分布的每个概率密度值的乘积的积分来执行，对于连续分布，而对于离散分布，它是通过将来自多个概率分布的每个概率密度值乘以来自多个概率分布的每个概率密度值的总和来完成。 （详情可见文章第5页）

假设我有大约 4 个列表，例如来自 4 个范数分布，例如，

list_1 = [5, 8, 6, 2, 1]
list_2 = [2, 6, 1, 3, 8]
list_3 = [1, 9, 2, 7, 5]
list_4 = [3, 2, 4, 1, 6]

并实现结果列表变成的合并，

Con_list = [2.73, 34.56, 3.69, 3.23, 12]

（如果我错了，请纠正我）

如何将照片中的两个方程实现到python中以获得输入PDF分布的合并？

我之前发现了关于平均列表的stackflow问题，代码如下，

def average(l):
    llen = len(l)
    def divide(x):
        return x / llen
    # return map(divide, map(sum, zip(*l)))
    return map(divide, map(sum, zip(l)))

我一直在尝试重新编码此函数以遵循上面的等式，但我找不到一种方法来获取合并的 pdf 以实现连续分布。

编辑 1：

根据 @Josh Purtell 的回答，我重写了代码，但是，我不断收到以下错误消息：

错误信息：

Traceback (most recent call last):
  File "/tmp/sessions/c903d99d60f20c3b/main.py", line 72, in <module>
    graph=conflate_pdf(domain, dists,lb,ub)
  File "/tmp/sessions/c903d99d60f20c3b/main.py", line 58, in conflate_pdf
    denom = quad(prod_pdf, lb, ub, args=(dists))[0]
  File "/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/scipy/integrate/quadpack.py", line 341, in quad
    points)
  File "/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/scipy/integrate/quadpack.py", line 448, in _quad
    return _quadpack._qagse(func,a,b,args,full_output,epsabs,epsrel,limit)
TypeError: only size-1 arrays can be converted to Python scalars

代码：

def prod_pdf(x,pdfs):
    prod=np.ones(pdfs[0].shape[0])
    for pdf in pdfs:
        prod=prod*pdf
    return prod

def conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
    denom = quad(prod_pdf, lb, ub, args=(dists))[0]
    return prod_pdf(x,dists)/denom

lb=-10
ub=10
domain=np.arange(lb,ub,.01)

dist_1 = stats.norm.pdf(domain, 2,1)
dist_2 = stats.norm.pdf(domain, 2.5,1.5)
dist_3 = stats.norm.pdf(domain, 2.2,1.6)
dist_4 = stats.norm.pdf(domain, 2.4,1.3)
dist_5 = stats.norm.pdf(domain, 2.7,1.5)

dists=[dist_1, dist_2, dist_3, dist_4, dist_5]
graph=conflate_pdf(domain, dists,lb,ub)

from matplotlib import pyplot as plt
plt.plot(domain, dist_1)
plt.plot(domain, dist_2)
plt.plot(domain, dist_3)
plt.plot(domain, dist_4)
plt.plot(domain, dist_5)
plt.plot(domain,graph)
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("Conflated PDF")
plt.show()

从代码来看，这个错误是什么原因造成的？

编辑 2：

我设法重写代码以查看分发列表，而不是在 Edit 1 的产品功能中获取 pdf，但我仍然在 Edit 中遇到相同的错误1.

代码：

def prod_pdf(x,pdfs):
    prod=np.ones(np.array(pdfs)[0].shape)
    for pdf in pdfs:
        print(prod)
        for c,y in enumerate(pdf):
            prod[c]=prod[c]*y
        print('final:', prod)
    return prod

def conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
    denom = quad(prod_pdf, lb, ub, args=(dists))[0]
    print('Denom: ',denom)
    print('product pdf: ', prod_pdf(x,dists))
    conflated_pdf=prod_pdf(x,dists)/denom
    print(conflated_pdf)
    return conflated_pdf

lb=-10
ub=10
domain=np.arange(lb,ub,.01)

dist_1 = st.norm.pdf(domain, 2,1)
dist_2 = st.norm.pdf(domain, 2.5,1.5)
dist_3 = st.norm.pdf(domain, 2.2,1.6)
dist_4 = st.norm.pdf(domain, 2.4,1.3)
dist_5 = st.norm.pdf(domain, 2.7,1.5)

from matplotlib import pyplot as plt
plt.plot(domain, dist_1, 'r')
plt.plot(domain, dist_2, 'g')
plt.plot(domain, dist_3, 'b')
plt.plot(domain, dist_4, 'y')
plt.plot(domain, dist_5, 'c')

dists=[dist_1, dist_2, dist_3, dist_4, dist_5]
graph=conflate_pdf(domain, dists,lb,ub)


plt.plot(domain,graph, 'm')
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("Conflated PDF")
plt.show()

编辑 3：

我尝试运行以下代码（基于 @Josh Purtell 的回答），但是，我继续获取一个变量，它在乘积函数之后获取整个数组并产生相同的错误关于 size-1 数组的消息。请参阅以下代码和部分输出：

代码：

from scipy.integrate import quad
from scipy import stats
import numpy as np

def prod_pdf(x,dists):
    p_pdf=1
    print('Incoming Array:', p_pdf)
    for dist in dists:
        p_pdf=p_pdf*dist
        print('final:', p_pdf)
    return p_pd

def conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
    print('Input product pdf: ', prod_pdf(x,dists))
    denom = quad(prod_pdf, lb, ub, args=(dists,))[0]
    # denom = simps(prod_pdf)
    # denom = nquad(func=(prod_pdf), ranges=([lb, ub]), args=(dists,))[0]
    print('Denom: ', denom)
    conflated_pdf=prod_pdf(x,dists)/denom
    print('Conflated PDF: ', conflated_pdf)
    return conflated_pdf

lb=-10
ub=10
domain=np.arange(lb,ub,.01)

dist_1 = st.norm.pdf(domain, 2,1)
dist_2 = st.norm.pdf(domain, 2.5,1.5)
dist_3 = st.norm.pdf(domain, 2.2,1.6)
dist_4 = st.norm.pdf(domain, 2.4,1.3)
dist_5 = st.norm.pdf(domain, 2.7,1.5)

from matplotlib import pyplot as plt
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("Conflated PDF")
plt.legend()
plt.plot(domain, dist_1, 'r', label='Dist. 1')
plt.plot(domain, dist_2, 'g', label='Dist. 2')
plt.plot(domain, dist_3, 'b', label='Dist. 3')
plt.plot(domain, dist_4, 'y', label='Dist. 4')
plt.plot(domain, dist_5, 'c', label='Dist. 5')

dists=[dist_1, dist_2, dist_3, dist_4, dist_5]
print('distribution list: \n', dists)
graph=conflate_pdf(domain, dists,lb,ub)

plt.plot(domain,graph, 'm', label='Conflated Dist.')
plt.show()

这是输出的一小部分：

Incoming Array: 1
final: [2.14638374e-32 2.41991991e-32 2.72804284e-32 ... 6.41980576e-15
 5.92770938e-15 5.47278628e-15]
final: [4.75178372e-48 5.66328097e-48 6.74864868e-48 ... 7.03075979e-21
 6.27970218e-21 5.60806584e-21]
final: [2.80912097e-61 3.51131870e-61 4.38823989e-61 ... 1.32670185e-26
 1.14952951e-26 9.95834610e-27]
final: [1.51005552e-81 2.03116529e-81 2.73144352e-81 ... 1.76466623e-34
 1.46198598e-34 1.21092834e-34]
final: [1.09076800e-97 1.55234627e-97 2.20861552e-97 ... 3.72095218e-40
 2.98464396e-40 2.39335035e-40]
Input product pdf:  [1.09076800e-97 1.55234627e-97 2.20861552e-97 ... 3.72095218e-40
 2.98464396e-40 2.39335035e-40]
Incoming Array: 1
final: [2.14638374e-32 2.41991991e-32 2.72804284e-32 ... 6.41980576e-15
 5.92770938e-15 5.47278628e-15]
final: [4.75178372e-48 5.66328097e-48 6.74864868e-48 ... 7.03075979e-21
 6.27970218e-21 5.60806584e-21]
final: [2.80912097e-61 3.51131870e-61 4.38823989e-61 ... 1.32670185e-26
 1.14952951e-26 9.95834610e-27]
final: [1.51005552e-81 2.03116529e-81 2.73144352e-81 ... 1.76466623e-34
 1.46198598e-34 1.21092834e-34]
final: [1.09076800e-97 1.55234627e-97 2.20861552e-97 ... 3.72095218e-40
 2.98464396e-40 2.39335035e-40]

我设法查看代码以在 Edit 3 中实现相同的方法，我编辑了从每个分布中获取第一个变量的代码，但是对于循环的其余部分，它会继续打印相同的值，它不会转到列表中的下一个值，并且合并分布是单个变量。请参阅以下代码和部分输出：

代码：

from scipy.integrate import quad
from scipy import stats
import numpy as np

def prod_pdf(x,dists):
    p_pdf=1
    print('Incoming Array:', p_pdf)
    for c,dist in enumerate(dists):
        p_pdf=p_pdf*dist[c]
        print('final:', p_pdf)
    return p_pdf

def conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
    print('Input product pdf: ', prod_pdf(x,dists))
    denom = quad(prod_pdf, lb, ub, args=(dists,))[0]
    # denom = simps(prod_pdf)
    # denom = nquad(func=(prod_pdf), ranges=([lb, ub]), args=(dists,))[0]
    print('Denom: ', denom)
    conflated_pdf=prod_pdf(x,dists)/denom
    print('Conflated PDF: ', conflated_pdf)
    return conflated_pdf

lb=-10
ub=10
domain=np.arange(lb,ub,.01)

dist_1 = st.norm.pdf(domain, 2,1)
dist_2 = st.norm.pdf(domain, 2.5,1.5)
dist_3 = st.norm.pdf(domain, 2.2,1.6)
dist_4 = st.norm.pdf(domain, 2.4,1.3)
dist_5 = st.norm.pdf(domain, 2.7,1.5)

from matplotlib import pyplot as plt
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("Conflated PDF")
plt.legend()
plt.plot(domain, dist_1, 'r', label='Dist. 1')
plt.plot(domain, dist_2, 'g', label='Dist. 2')
plt.plot(domain, dist_3, 'b', label='Dist. 3')
plt.plot(domain, dist_4, 'y', label='Dist. 4')
plt.plot(domain, dist_5, 'c', label='Dist. 5')

dists=[dist_1, dist_2, dist_3, dist_4, dist_5]
print('distribution list: \n', dists)
graph=conflate_pdf(domain, dists,lb,ub)

plt.plot(domain,graph, 'm', label='Conflated Dist.')
plt.show()

部分输出：

Incoming Array: 1
final: 2.1463837356630605e-32
final: 5.0231307782193034e-48
final: 3.266239495519432e-61
final: 2.187514996217005e-81
final: 1.979657878680375e-97
Incoming Array: 1
final: 2.1463837356630605e-32
final: 5.0231307782193034e-48
final: 3.266239495519432e-61
final: 2.187514996217005e-81
final: 1.979657878680375e-97
Denom:  3.95931575736075e-96
Incoming Array: 1
final: 2.1463837356630605e-32
final: 5.0231307782193034e-48
final: 3.266239495519432e-61
final: 2.187514996217005e-81
final: 1.979657878680375e-97
Conflated PDF:  0.049999999999999996

编辑 4：

我实现了以下代码，它似乎可以工作，而且，我设法解决了quad 的问题，如果我将quad 更改为fixed_quad 并规范化pdf 列表。我会得到同样的结果。下面是代码：

import scipy.stats as st
import numpy as np
import scipy.stats as st
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler, Normalizer, normalize, StandardScaler
from scipy.integrate import quad, simps, quad_vec, nquad, cumulative_trapezoid
from scipy.integrate import romberg, trapezoid, simpson, romb
from scipy.integrate import fixed_quad, quadrature, quad_explain
from scipy import stats
import time

def user_prod_pdf(x,dists):
p_list=[]
p_pdf=1
print('Incoming Array:', p_pdf)
for dist in dists:
print('Incoming Distribution Array:', dist.pdf(x))
p_pdf=p_pdf*dist.pdf(x)
print('Product PDF:', p_pdf)
p_list.append(p_pdf)
print('final Product PDF:', p_pdf)
print('Product PDF list: ', p_list)
return p_pdf

def user_conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
print('Input product pdf: ', user_prod_pdf(x,dists))
denom = quad(user_prod_pdf, lb, ub, args=(dists,))[0]
print('Denom: ', denom)
conflated_pdf=user_prod_pdf(x,dists)/denom
print('Conflated PDF: ', conflated_pdf)
return conflated_pdf

def user_conflate_pdf_2(pdfs):
"""
Compute conflation of given pdfs.

[ARGS]
- pdfs: PDFs numpy array of shape (n, x)
where n is the number of PDFs
and x is the variable space.

[RETURN]
A 1d-array of normalized conflated PDF.
"""
# conflate
conflation = np.array(pdfs).prod(axis=0)
# normalize
conflation /= conflation.sum()
return conflation

def my_product_pdf(x,dists):
p_list=[]
p_pdf=1
print('Incoming Array:', p_pdf)
list_full_size=np.array(dists).shape
print('Full list size: ', list_full_size)
print('list size: ', list_full_size[0])
for x in range(list_full_size[1]):
p_pdf=1
for y in range(list_full_size[0]):
p_pdf=float(p_pdf)*dists[y][x]
print('Product value: ', p_pdf)
print('Product PDF:', p_pdf)
p_list.append(p_pdf)
print('final Product PDF:', p_pdf)
print('Product PDF list: ', p_list)
# return p_pdf
return p_list
# return np.array(p_list)

def my_conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
print('\n')
# print('product pdf: ', prod_pdf(x,dists))
print('product pdf: ', my_product_pdf(x,dists))
denom = fixed_quad(my_product_pdf, lb, ub, args=(dists,), n=1)[0]
print('Denom: ', denom)
# conflated_pdf=prod_pdf(x,dists)/denom
conflated_pdf=my_product_pdf(x,dists)/denom
# conflated_pdf=[i / j for i,j in zip(my_product_pdf(x,dists), denom)]
print('Conflated PDF: ', conflated_pdf)
return conflated_pdf

lb=-10
ub=10
domain=np.arange(lb,ub,.01)

# dist_1 = st.norm(2,1)
# dist_2 = st.norm(2.5,1.5)
# dist_3 = st.norm(2.2,1.6)
# dist_4 = st.norm(2.4,1.3)
# dist_5 = st.norm(2.7,1.5)

# dist_1_pdf = st.norm.pdf(domain, 2,1)
# dist_2_pdf = st.norm.pdf(domain, 2.5,1.5)
# dist_3_pdf = st.norm.pdf(domain, 2.2,1.6)
# dist_4_pdf = st.norm.pdf(domain, 2.4,1.3)
# dist_5_pdf = st.norm.pdf(domain, 2.7,1.5)

# dist_1_pdf /= dist_1_pdf.sum()
# dist_2_pdf /= dist_2_pdf.sum()
# dist_3_pdf /= dist_3_pdf.sum()
# dist_4_pdf /= dist_4_pdf.sum()
# dist_5_pdf /= dist_5_pdf.sum()

dist_1 = st.norm(2,1)
dist_2 = st.norm(4,2)
dist_3 = st.norm(7,4)
dist_4 = st.norm(2.4,1.3)
dist_5 = st.norm(2.7,1.5)

dist_1_pdf = st.norm.pdf(domain, 2,1)
dist_2_pdf = st.norm.pdf(domain, 4,2)
dist_3_pdf = st.norm.pdf(domain, 7,4)
dist_4_pdf = st.norm.pdf(domain, 2.4,1.3)
dist_5_pdf = st.norm.pdf(domain, 2.7,1.5)

# dist_1_pdf /= dist_1_pdf.sum()
# dist_2_pdf /= dist_2_pdf.sum()
# dist_3_pdf /= dist_3_pdf.sum()
# dist_4_pdf /= dist_4_pdf.sum()
# dist_5_pdf /= dist_5_pdf.sum()

# User:
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("User Conflated PDF")
plt.plot(domain, dist_1_pdf, 'r', label='Dist. 1')
plt.plot(domain, dist_2_pdf, 'g', label='Dist. 2')
plt.plot(domain, dist_3_pdf, 'b', label='Dist. 3')
plt.plot(domain, dist_4_pdf, 'y', label='Dist. 4')
plt.plot(domain, dist_5_pdf, 'c', label='Dist. 5')

dists=[dist_1, dist_2, dist_3, dist_4, dist_5]
user_graph=user_conflate_pdf(domain,dists,lb,ub)
print('Final Conflated PDF: ', user_graph)

# user_graph /= user_graph.sum()

plt.plot(domain, user_graph, 'm', label='Conflated PDF')
plt.legend()
plt.show()

# User 2:
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("User Conflated PDF 2")
plt.plot(domain, dist_1_pdf, 'r', label='Dist. 1')
plt.plot(domain, dist_2_pdf, 'g', label='Dist. 2')
plt.plot(domain, dist_3_pdf, 'b', label='Dist. 3')
plt.plot(domain, dist_4_pdf, 'y', label='Dist. 4')
plt.plot(domain, dist_5_pdf, 'c', label='Dist. 5')

dists=[dist_1_pdf, dist_2_pdf, dist_3_pdf, dist_4_pdf, dist_5_pdf]
user_graph=user_conflate_pdf_2(dists)
print('Final User Conflated PDF 2 : ', user_graph)

# user_graph /= user_graph.sum()

plt.plot(domain, user_graph, 'm', label='Conflated PDF')
plt.legend()
plt.show()

# My Code:
# from matplotlib import pyplot as plt
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("My Conflated PDF Code")
plt.plot(domain, dist_1_pdf, 'r', label='Dist. 1')
plt.plot(domain, dist_2_pdf, 'g', label='Dist. 2')
plt.plot(domain, dist_3_pdf, 'b', label='Dist. 3')
plt.plot(domain, dist_4_pdf, 'y', label='Dist. 4')
plt.plot(domain, dist_5_pdf, 'c', label='Dist. 5')

dists=[dist_1_pdf, dist_2_pdf, dist_3_pdf, dist_4_pdf, dist_5_pdf]
my_graph=my_conflate_pdf(domain,dists,lb,ub)
print('Final Conflated PDF: ', my_graph)

my_graph /= np.array(my_graph).sum()

# my_graph = inverse_normalise(my_graph)

plt.plot(domain, my_graph, 'm', label='Conflated PDF')
plt.legend()
plt.show()

# Conflated PDF:
print('User Conflated PDF: ', user_graph)
print('My Conflated PDF: ', np.array(my_graph))

这是输出：

我的问题是，我知道我需要标准化 PDF 列表。但是，假设我没有规范化 PDF，如何修改我的合并代码以获得以下图？

要获得上面的情节和我的混合代码：

# user_graph /= user_graph.sum()
# dist_1_pdf /= dist_1_pdf.sum()
# dist_2_pdf /= dist_2_pdf.sum()
# dist_3_pdf /= dist_3_pdf.sum()
# dist_4_pdf /= dist_4_pdf.sum()
# dist_5_pdf /= dist_5_pdf.sum()

我没有规范化的混合代码图：

【参考方案1】：

免责声明：我很可能误解了您或论文作者，在这种情况下，请建议对此答案进行修改。

这是我认为合并可能看起来像的一个微不足道的、性能不是特别好的实现

##define pdfs for discrete RV X = 1,2,3,4
import numpy as np

def mult_list(pdfs):
    prod=np.ones(pdfs[0].shape[0])
    for pdf in pdfs:
        prod=prod*pdf
    return prod

def conflate(pdfs):
    return mult_list(pdfs)/sum(mult_list(pdfs))

pdf_1=np.array([.25,.25,.25,.25])
pdf_2=np.array([.33,.33,.33,.00])
pdf_3=np.array([.25,.12,.13,.50])

print(conflate([pdf_1,pdf_2,pdf_3]))

生成合并后的 pdf

>>> [0.5  0.24 0.26 0.  ]

它通过了粗略的嗅探测试。

在事物的连续方面，上述转换为

from scipy.integrate import quad
from scipy import stats
import numpy as np

def prod_pdf(x,dists):
    p_pdf=1
    for dist in dists:
        p_pdf=p_pdf*dist.pdf(x)
    return p_pdf

def conflate_pdf(x,dists,lb,ub):
    denom = quad(prod_pdf, lb, ub, args=(dists))[0]
    return prod_pdf(x,dists)/denom

dists=[stats.norm(2,1),stats.norm(4,2)]
lb=-10
ub=10
domain=np.arange(lb,ub,.01)
graph=conflate_pdf(domain,dists,lb,ub)

from matplotlib import pyplot as plt
plt.plot(domain,graph)
plt.xlabel("domain")
plt.ylabel("pdf")
plt.title("Conflated PDF")
plt.show()
plt.savefig("conflatedpdf.png")

这给了

正如您所见，分布并非像人们希望的那样是双峰的。

【讨论】：

感谢您的回答。只是为了让我理解您的代码，因此您将每个列表中的值乘以 1，然后对于乘法部分，它在分子处完成，分母将看起来和运算符。另外，如果是连续分布呢？

@WDpad159 刚刚添加了我的连续分布方法

感谢您的帮助。在之前的评论中是我对代码的解释是对的吗？

这是论文的引述：“对于离散输入分布，合并的类似定义是概率质量函数的归一化乘积”。在代码中，我为 RV 图像空间中的每个元素找到了 pmfs 的乘积（pdf 的离散模拟，我的代码命名诚然忽略了这种区别），然后用所有此类乘积的总和对该乘积进行归一化（这样它加一）。我用 1 初始化产品的原因是 for 循环是对称的；这就像用 0 初始化一个总和。

代码工作正常，但如果我使用 pdf 作为列表，我会不断收到代码错误。请参阅编辑后的问题。