hdu 2199Can you solve this equation?（牛顿迭代法）

Posted 2022-12-11 沐茈静

Problem Description Now,given the equation 8*x^4 + 7*x^3 + 2*x^2 + 3*x + 6 == Y,can you find its solution between 0 and 100;
Now please try your lucky.  
Input The first line of the input contains an integer T(1<=T<=100) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line has a real number Y (fabs(Y) <= 1e10);  
Output For each test case, you should just output one real number(accurate up to 4 decimal places),which is the solution of the equation,or “No solution!”,if there is no solution for the equation between 0 and 100.  
Sample Input 2 100 -4  
Sample Output 1.6152 No solution! 题解：运用牛顿迭代法求方程的根：或二分等……，此处用newton_iteration; 知识解惑：牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。 设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点(x0，f(x0))做 曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标  x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1，f(x1))做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，x(n+1)=x(n）－f(x(n))/f'(x(n))称为r的n+1次近似值，上式称为 牛顿迭代公式。 用牛顿迭代法解非线性方程f(x)=0，是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在点x0的某邻域内展开成 泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… ，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 ，以此作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，若f'(x0)≠0，则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0)， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下 三个方面的工作： 一、确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式 所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制 在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。
错误原因：1处：把x1-x0作为结束的条件；                  2处：k=0（表示返回值是没有方程的根），而若题目在k=0.0出满足题目要求，最好把return 0;改为return -1;                   3处：需要把0到100内的数都看作选定的初始近似值：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<cstring>
#define f(x) 8*x*x*x*x+7*x*x*x+2*x*x+3*x+6-y    

//f(x)= 0;f1(x)=f(x)';即f1(x)为f(x)的导数；
#define f1(x) 32*x*x*x+21*x*x+4*x+3
using namespace std;
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
double y;
double Newton_iteration(double x)

int k=1;
while(fabs(f(x))>1e-6)   //……1

x=x-(f(x))/(f1(x));     // x1 = x0-f(x0)/f'(x0)
k++;
if(k>30)

//超过预定次数，则方法失败；

return -1;

return x;

int main()

//freopen("input.txt","r",stdin);
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)

scanf("%lf",&y);
int flag=0;
double z;
for(double x=0.0;x<100;x++)//……3

z=Newton_iteration(x);
if(z<=100.0&&z>=0.0)//……2

flag=1;
break;


if(flag==0)
printf("No solution!\\n");
else
printf("%.4lf\\n",z);


return 0;