[动态规划与回溯算法]斐波那契数列与变形

Posted 2022-12-10 一个正直的男孩

大家好这是我的一个新的专题，动态规划，这里有我大量学习DP（动归）的学习笔记，和我的见解，但是博主在这一块一个是一个小白，还在摸索如果有我那里有错误，或者有更好的思路请你在评论区留言

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动态规划三加一准则

三：

状态定义

转移方程

定义初始状态

一：

数组（一维，二维）

其中比较难得的就是状态的定义和转移方程，一般把这俩个想明白定义出来，那么这个道题基本上可以算是写出来了。一般来说状态定义都是从问题中抽象出来的……

你或许好奇为啥要数组呢？

因为DP其实也是一个分治的算法(大问题化成小问题)，DP一般都要把之前的子问题求出来的解保存起来，因为后面需要子问题的解去推导更大的子问题。如果我分解出来不用我分小问题的意义何在，一般来说是用数组来保存

斐波那契数列

题目描述：

分析：

很显然题目给了我们很多的信息，那么我们来看看如何把他抽象出来

状态定义：

题目告诉说 x 是由 x的前一项(x-1) + x的前前一项(x-2),那么我们就可以求第 i项 ，在用i的解去推 x ，所以我们需要一个数组去保存i项的解

状态初始化：

在题目中给给的分段函数可以看出x=1，x=2 时为一，那么这就是他的初始状态

递推方程：

题目其已经给我们写出来就是 fib(x-1)+fib(x-2)，求当前一项需要知道前面俩项的结果

代码：

    int Fibonacci(int n) 
    
        if(n==0)//处理特殊情况
        
            return 0;
        
            
        //状态定义
        int * fib=new int[n+1];
        //状态初始化
        fib[1]=1;
        fib[2]=1;
        //转移方程
        for(int i=3;i<=n;i++)
        
            fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
        
        
        //返回结果
       return  fib[n];
    
;

i项其实就是一个笼统的概念，其实需要好多个i项，就和之前一本书名字叫《5分钟学好英语》，内容也没错，知识5分钟学完之后你要花几千几万个5分钟进行复习……

上面的代码你看出哪里还有可以优化的地方嘛？

提示空间复杂度

……

……

……

……

……

我需要求第i项我是不是只需要知道 i-1 和 i-2 ，但是我不需要 知道 i-3……i-n 的值，那么我们可以用俩个变量进行动态更新

int Fibonacci(int n) 
    
        if(n==0)//处理特殊情况
        
            return 0;
        
            
        //状态定义 //状态初始化
         int third=1;
         int second=1;
         int frist=1;
       
        //转移方程
        for(int i=3;i<=n;i++)
        
          
            third=second+frist;
            //更新状态
            frist=second;
            second=third;
        
        
        //返回结果
       return third;
    
;

青蛙跳台阶

题目描述:

分析：

当青蛙跳到第n级台阶时，那么他要从哪里一级台阶跳上来呢？根据题目来看这应该不是火箭🐸，这只青蛙只可以跳 一层 或者 俩层 ，那只有俩种可能 就是在 n-1级的台阶 或 n-2级的台阶…………有没有很熟悉的感觉，这不就是披着羊皮的斐波那契嘛

那么我们就套用斐波那契的思路，从题中可以看出青蛙只有俩种跳法： 1级台阶 2级台阶

初始状态：

由图所示，初始状态就是 青蛙可以跳的台阶级数， x=1 是为1 x=2 时为2,但是题目中有一个反人类的操作就是当是第0层的时候青蛙也跳了一次,所以初始状态为 x=0 为1 x=1 为1

代码：

int numWays(int n)
    
            
        //状态定义 //状态初始化
        int  third=1;
        int second=1;
        int frist=1;
       
        //转移方程
        for(int i=2;i<=n;i++)
        
            third=second+frist;
            frist=second;
            second=third;
        
        
        //返回结果
       return third;
    

唠唠家常

记住动态规三加一口诀，状态抽象，转移方程，状态初始化，与一个数组保存中间的解