矩阵的“k阶子式”怎么计算出来？

Posted 2023-04-24

就是在一个矩阵或行列式中取k行,k列,交叉处的k^2个元素构成的行列式.
例如：
矩阵A =
[1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12],
其中
1 2
5 6
就构成一个2阶子式.
当然A中还有其它的2阶子式,
比如
6 7
10 11
利用排列组合的知识可以算出n行m列的矩阵中k阶子式的个数为
C^k_nC^k_m,
其中k介于 1 和 minm,n之间. 参考技术A 在m×n矩阵a中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列式交叉处的k²个元素，不改变它们在a中所处的位置次序而的k阶行列式，称为矩阵a的k阶子式。
这是教材的定义...实际呢，就是在矩阵中找正方形，矩阵中任意一个数都是矩阵的一阶子式，2×2的正方形就是二阶子式，3×3的就是三阶...等等。个数就是c(m，k)×c(n，k)。就是从m个元素中选出k个元素的组合数和从n个元素中选出k个元素的组合数的乘积。

求秩可以取第一列和第三列的值吗

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

线性代数之矩阵秩的求法

K阶子式的定义
在m×n的矩阵A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于这些行和列交叉处的 个元素，在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。

不难发现矩阵A有个


个k阶子式。

比如有矩阵A


比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 ：


即其中的一个2阶子式是：

矩阵秩的定义
设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点：

R(A)大于等于0小于等于minm,n。
r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩
r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩
r(A) < minm,n则叫做降秩
A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)
r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0
矩阵A（m乘n阶）左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。
对矩阵实施(行、列）初等变换不改变矩阵的秩
阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。
A的秩等于A转置的秩
任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变
矩阵秩的求法
定义法
该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。

#Sample1（示例一），求下列矩阵的秩：

A=

针对矩阵A，我们先找它的一个3阶子式看看是否为0，比如我们找的是

很显然该三阶子式等于-1≠0，所以该矩阵的秩是3。

因为当前矩阵没有4阶子式子，所以3是该矩阵的最高阶。

#Sample2（示例二）：已知矩阵A

，如果R(A)<3,求a。

Step1：这种已知矩阵的秩求参数的题目需要借助秩的定义。因为当前矩阵A是3阶的，而R(A)又小于3，那么A的三阶子式(即A本身)为0。

Step2：可按照行(列)将第2、3行(列)都加到第1行(列)上去，然后提取公因子a+2,

Step3：再以第1行（列）为轴，消除其它行(列)进而得到

Step4：（a+2）

=0 所以a=-2或者a=1。

类似的,#Sample3（示例三）如果如下的矩阵A的秩R(A)等于3那么k等多少呢？

思路:该题的思路跟上例类似，不过这里解出的k（k=1或者k=-3）需要带回原矩阵里核验下，而k=1时R(A)=1和题目的条件冲突，所以k只能为-3。

阶梯型数非零行数
分两步:

第一步先将原矩阵化简成阶梯型矩阵

第二步数新矩阵的非零行行数，该函数即对应原矩阵的秩。

#Sample4（示例四）：示例，求如下矩阵A的秩

Step1：第1行的-2倍加到第2行上去、第1行的1倍加到第三行上去，于是得到

Step2：针对上述矩阵，将第2行加到第3行上去，于是得到

Step3：此时我们已经能输出非0行的函数即2，所以矩阵A的秩是2。

阶梯型画台阶
我们可以借助阶梯的图形化方式勾出台阶数，见下图示例#Sample5（示例五）：

注：1 画阶梯(台阶下的元素全为0)数台阶，台阶水平方向可跨多列，垂直(列)方向不能跨多行（即一次只能有1个台阶）。

2 该方法本质上属于阶梯型，只是操作时以图形化数台阶的方式。

发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/139199.html原文链接：https://javaforall.cn

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矩阵A比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 ：即其中的一个2阶子式是：矩阵秩的定义设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点：R(A)大于等于0小于等于minm,n。r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩r(A) < minm,n则叫做降秩A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0矩阵A（m乘n阶）左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。 参考技术B 首先这是一个3行4列的矩阵，秩小于等于3，首先验证秩是否为3，经过你上面的等价变换后，得到的矩阵可以取一个三阶子矩阵，并计算该矩阵的行列式是否为零。

注意这个三阶矩阵并非唯一的，你只需找到一个三阶子矩阵的行列式不为零就能说明这三个向量线性无关，从而说明矩阵的秩为3。

原题中你可以取第一列第二列第三列，组成的行列式其数值也不为零。 参考技术C 原理：利用矩阵的行初等变换，把矩阵变成阶梯形或标准形。
方法：1.定义二维数组，类型根据需要，整形或浮点型，或双精度型。
2.如第1行第1列不为0，（1）用这个数除第1行所有各数（2）用这一行乘-a(i,1)加到第i行上 （3）i取遍其余各行。这样第1列除第1行外均为0
3.对其余各行做类似处理，直到以下各行全部为0为止。
4.不全为0的行数即是秩数。 参考技术D 利用矩阵的行初等变换，把矩阵变成阶梯形或标准形。
方法：1.定义二维数组，类型根据需要，整形或浮点型，或双精度型。
2.如第1行第1列不为0，（1）用这个数除第1行所有各数（2）用这一行乘-a(i,1)加到第i行上 （3）i取遍其余各行。这样第1列除第1行外均为0
3.对其余各行做类似处理，直到以下各行全部为0为止。
4.不全为0的行数即是秩数。