在 RSA 算法中，多个 d 是不是可以与给定的 e、p 和 q 一起工作？为啥？

Posted 2023-04-10

在 RSA 算法中，多个 d 是否可以与给定的 e、p 和 q 一起工作？（是否可能有 d 和 u s.t. ed = 1 mod φ(n) 和 eu = 1 mod φ(n)？）为什么？

参考技术A

不存在。

e的选取时，要求φ(n) 和 e互质。在模φ(n) 的情况下，一定存在且只存在一个数，是e的逆元。也就是说，不会存在u、s、t。。。

证明： 

假设对于一个数a，在模p下有两个不同的逆元 a' 和 a''：a*a'=a*a''=1(mod p)；

不妨先设 a' < a'' 且 a'' - a' =k；

由于 a ≠ 0 ，所以 k =0 (mod p).

所以 a’ 与 a''的值相等，即只有一个逆元。

RSA算法中利用欧几里得算法求d详细过程

 

文章转自新浪博客@任家

正文：

RSA是第一个也是使用的最广泛的公钥加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人发明，

并以他们的名字命名。RSA算法的安全性基于大数因子分解的困难性，下面介绍一下它的基本原理：

1、生成公钥和私钥

（1）选取两个大素数：p和q；

（2）计算n=p*q；

（3）计算小于n并且与n互质的整数的个数，即欧拉函数Ø（n）=（p-1）*（q-1）；

（4）随机选择加密密钥e，使1<e<Ø（n），且与Ø（n）互质；

（5）最后，利用Euclid（欧几里得）算法计算解密密钥d，使其满足ed=1（mod Ø（n））。

　　  然后将（e，n）公开，即为公钥PK，私人保存好d，即为私钥SK；

2、加密

将明文m分解成等长数据块m1，m2，……，mi。加密时，按如下公式进行计算即可：

ci=（mi）e（mod n），密文c则由c1，c2，……ci组成。

3、解密

与加密一样，按如下公式进行计算：

mi=（ci）d（mod n），明文m则由m1，m2，……，mi组成。

 

以上就是RSA算法的公私钥产生、加密和解密的过程。整个过程中，最难理解的部分应是1.5中的求私钥d，

很多课本提到的都是用欧几里得算法，但并未给出具体的计算过程

 

下面本人就通过一个实例向大家介绍欧几里得算法在RSA中的应用。

例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公钥和私钥。

计算如下：

（1）n=pq=47*71=3337；

（2）Ø（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；

（3）随机选取e=79（满足与3220互质的条件）；

（4）则私钥d应该满足：79*d mod 3220 = 1；

那么这个式子（4）如何解呢？这里就要用到欧几里得算法（又称辗转相除法），解法如下：

（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k为正整数）；

（b）将3220对79取模得到的余数60代替3220，则变为79*d-60*k=1；

（c）同理，将79对60取模得到的余数19代替79，则变为19*d-60*k=1；

（d）同理，将60对19取模得到的余数3代替60，则变为19*d-3*k=1；

（e）同理，将19对3取模得到的余数1代替19，则变为d-3*k=1；

当d的系数最后化为1时，(注：当k的系数先化为1时，令d=1，再带入)

令k=0，代入（e）式中，得d=1；

将d=1代入（d）式，得k=6；

将k=6代入（c）式，得d=19；

将d=19代入（b）式，得k=25；

将k=25代入（a）式，得d=1019，这个值即我们要求的私钥d的最终值。

此时，我们即可得到公钥PK=（e，n）={79，3337}，私钥SK={1019，3337}

后面的加密和解密直接套相应公式即可。