求有向图两个顶点间的最短路径的方法，用简单语言或举例描述。

Posted 2023-04-01

在交通网络中，常常会提出许多这样的问题：两地之间是否有路相通？在有多条通路的情况下，哪一条最近？哪一条花费最少等。交通网络可以用带权图表示，图中顶点表示域镇，边表示两城之间的道路，边上权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等。
　　以上提出的问题就是带权图中求最短路径的问题，即求两个顶点间长度最短的路径。
　　最短路径问题的提法很多。在这里仅讨论单源最短路径问题：即已知有向图(带权)，我们希望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径。
　　例如：下图(有向图G14)，假定以v1为源点，则其它各顶点的最短路径如下表所示：
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 G14

　　从有向图可看出，顶点v1到v4的路径有3条：(v1,v2,v4)，(v1,v4)，(v1,v3,v2,v4 )，其路径长度分别为：15,20和10。因此v1到v4的最短路径为(v1,v3,v2,v4 )。
　　为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。
　　那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉(Dijkstra)提出按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。
　　迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设有向图G=(V,E)，其中，V=1,2,…,n，cost是表示G的邻接矩阵，cost[i][j] 表示有向边<i,j>的权。若不存在有向边<i,j>，则cost[i][j]的权为无穷大(这里取值为32767)。设S是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。设顶点v1为源点，集合S的初态只包含顶点v1。数组dist记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=cost[v1][i]，i=2,…,n。从S之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w，使dist[w]的值最小。于是从源点到达w只通过S 中的顶点，把w加入集合S中调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的dist[v] 和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v]。重复上述过程，直到S中包含V中其余顶点的最短路径。
　　最终结果是：S记录了从源点到该顶点存在最短路径的顶点集合，数组dist记录了从源点到 V中其余各顶点之间的最短路径，path是最短路径的路径数组，其中path[i] 表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱顶点。 参考技术A 图论，数据结构教材中有

用Dijkstra算法求图中从顶点a到其他各顶点间的最短路径，并写出执行算法过程中各步的状态。

参考技术A 迪克斯加（Dijkstra）算法(最短路径算法)是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。
　　举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 迪科斯彻算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
　　迪科斯彻算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。 每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。 因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径
　　这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0）， 同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外d[v]= ∞）。当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到u的路径。这条路径的长度是d+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过组织因而当d达到它最终的值的时候每条边(u,v)都只被拓展一次。
　　算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。program dijkstra;
　　var
　　state:array[1..100]of boolean;
　　data:array[1..100,1..100]of longint;
　　n,i,j,k,min,node:longint;
　　begin
　　assign(input,'dijkstra.in');
　　assign(output,'dijkstra.out');
　　reset(input);
　　rewrite(output);
　　fillchar(data, sizeof(data), 0);
　　fillchar(state,sizeof(state),0);
　　readln(n);
　　for i:=1 to n do
　　for j:=1 to n do
　　begin
　　read(data[i,j]);
　　if data[i,j]=0 then data[i,j]:=maxint;
　　end;
　　state[1]:=true;
　　for k:=2 to n do
　　begin
　　min:=maxint;
　　查找权值最小的点为node
　　node:=1;
　　for i:=2 to n do
　　if (data[1,i]<min)and(state[i]=false) then
　　begin
　　min:=data[1,i];
　　node:=i;
　　end;
　　更新其他各点的权值
　　state[node]:=true;
　　for j:=1 to n do
　　if (data[1,node]+data[node,j]<data[1,j]) and (state[j]=false) then
　　data[1,j]:=data[1,node]+data[node,j];
　　end;
　　for i:=1 to n-1 do
　　if data[1,i]<>maxint then
　　write(data[1,i],' ')
　　else
　　write(-1,' ');
　　writeln(data[1,n]);
　　close(input);
　　close(output);
　　end.