x = [0,3,5,7,9,11,12,13,14,15] ;
y = [0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6] ;
x1 = 0 : 0.1 : 15 ; %需要的插值
y1 = interp1(x,y,x1,'spline') ;
plot(x1, y1) ;

所绘制的图如下所示：

2-数据插值的计算机制

我们可以理解数据插值就算一种函数逼近的方法，就算就是根据离散数据点，找到一个近似函数去逼近未知函数，有了这个近似函数，我们就可以计算样本区间内的所有值了。

3-数据插值的实现方法

在MATLAB中我们使用interp1()函数进行一维插值。

调用格式如下所示：Y1 = interp1(X,Y,X1,method) ;其中X,Y为同维向量，根据X,Y的值，计算函数在X1处的值，X1是一个向量或者一个标量，表示要插入的点。method用于标记插值方法。

我们进一步看一下插入方法有如下四种：

（1）linear，线性插值，默认插值方法，将与插值点靠近的两个点用直线连接，然后在直线上选取插值点。

（2）nearest：最近点插值，选择最近样本点的值作为插值数据。

（3）pchip：分段3次埃米特插值。

（4）spline：三次样条插值。

注意：一般插值都使用3次多项式插值，而不是使用更高次多项式插值。因为次数过高，未必好，可能会产生震荡，从而偏离原函数。

我们可以看一下，四种插值方式，插值后的曲线图，如下所示：

四种插值方法的比较：

线性插值和最近点插值比较简单，其中线性插值方法的计算量与样本点n无关，n越大，误差越小。

3次埃米特插值和3次样条插值效果都比较好，插值都能保证曲线的光滑性。

在MATLAB中我们使用interp2()函是实现二维插值。

函数的调用个数如下，Z = interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) ; 就是根据X,Y,Z对应的值，对于要插入的X1,Y1，求出采样点对应的函数值赋值给Z。method是插值方法。

4-数据插值的应用举例

我们看一下下面的刹车制动问题，一个很好的数据插值案例。

通过分析，我们可以做一下假设，先假设车速为v,停车视距为d，反应距离为d1,制动距离为d2,安全距离为d3，反应时间为as,故可以得到：d1=as*v,d2是v的函数，具体的函数未知。

这样我们可以很容易列出一个方程：10*v+d2+10=120，但是我们只知道d2是v的函数，却解不出方程，其实这个题我们可以使用数据插值。

我们以表格总的数据作为样本，进行数据插值，计算处120m停车视距所对应的速度指标。

我们的编程思路如下：

第一步：建立速度与停车视距向量。

第二步：以1为单位，对采样区间内的所有速度进行插值，计算处相应的停车视距。

第三步：求出停车视距为120时对应的速度。

第四步：绘图。

对于第一问，时速最高不能超过36km/h。

v = 20 : 10 : 150 ; %速度向量
vs = v * 1000 / 3600 ; %将km/h转换为m/s
d1 = 10 * vs ; %反应距离
d2 = [3.15, 7.08, 12.59, 19.68, 28.34, 38.57, 50.4, 63.75, 78.71, 95.22, 113.29, 132.93, 154.12, 176.87] ;%制动距离
d3 = 10 ; %安全距离
d = d1 + d2 + d3 ; %停车视距
vi = 20 : 150 ; %要插入的速度样本点
di = interp1(v, d, vi, 'spline');
x = abs(di - 120) ; %得到一个新的向量
[y,i] = sort(x); %升序排序，最小元素的序号，就120的停车视距对应的速度序号
vi(i(1))
plot(vi, di, vi(i(1)), di(i(1)), 'rp') ; %绘图并标记速度与120m停车视距对应的坐标

绘图观察如下所示：通过此图我们可以发现行车速度与停车视距的关系为非线性，非线性增长趋势。行车速度越快，要保证的停车视距越长。

对于第二问，在插值之后的代码中，加上如下代码，计算出125km/h的速度下，停车视距为ds=480.14m.

j = find(vi==125) ; %找到vi等于125时候，对应的下标
 ds = di(j)

通过上面的刹车问题，我们可以得出：公路设计是一个复杂的工程，除了地质，地形之外，

驾驶者的可视距离也要考虑在内。

二、曲线拟合

1-初识曲线拟合

我们看下面的人口预测的例子，了解一下曲线拟合。

解题思路：我们通过找到一个函数，去逼近这些数据，然后再根据根据找到的函数，去求出预测点的值。代码如下：预测2020年的人口数量为 339.7869百万。

x = 1790 : 10 : 2010 ; %年份的向量
y = [3.9, 5.3, 7.2, 9.6, 12.9, 17.1, 23.2, 31.4, 38.6, 50.2, 63, 76, 92, 105.7, 122.8, 131.7, 150.7, 179.3, 203.2, 226.5, 248.7,281.4,308.7 ] ;
plot(x,y,'*') ;%绘制散点图
p = polyfit(x,y,3) ; %生成三次多项式函数，系数保存在向量p中
polyval(p,2020) %计算多项式函数在2020处的函数值
hold on ;
plot(x, polyval(p,x)) ;%绘制拟合曲线

绘制的散点图和拟合曲线如下所示：