数学建模暑期集训10：拟合/matlab工具箱Curve Fitting Tool的使用

Posted 2021-08-18 Z|Star

1.插值与拟合

插值和拟合两个概念经常放在一起，先分清两者的区别。

插值：用一条曲线穿过所有数据点
拟合：用一条曲线大致将数据点的趋势描绘出来

因此，拟合更为常用。

2.matlab实现y=kx+b拟合

clear;clc
load  data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线

% % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% xx = 2.5: 0.1 :7  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% yy = k * xx + b  % k和b都是已知值
% plot(xx,yy,'-')

% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
%  z=@(x,y) x^2+y^2; 
%  z(1,2) 
% % ans =  5
% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval =  [xmin xmax] 表示定义域的范围

f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2.5,7]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR   % 5.6843e-14  =   5.6843*10^-14   matlab浮点数计算的一个误差
R_2 = SSR / SST

其中，k和b数值计算公式应用了最小二乘法。

3.拟合效果的评价

这里的$R^2$是个重要概念，在本专栏的这篇博文中数学建模暑期集训6：用SPSS对数据进行多元线性回归分析直接对$R^2$进行分析，其原理可从上图窥见一斑。
另外注意，只有线性模型可以用$R^2$评估，非线性拟合只能用SSE。

4.matlab工具箱Curve Fitting Tool

上面matlab的代码只能做简单的一元线性拟合，而matlab的工具箱Curve Fitting Tool功能强大的多。

(1)在APP内，进入工具箱

(2)选择变量

(3)选择拟合函数

最常用：Custom Equations（自定义）、Polynomial（多项式）
其他类型：
Custom Equations：用户自定义的函数类型
Exponential：指数逼近，有2种类型， aexp(bx) 、 aexp(bx) + cexp(dx)
Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1cos(xw) + b1sin(xw)
Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial：多项式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power：幂逼近，有2种类型，ax^b 、a*x^b + c
Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree

(4)查看结果导出代码
下方查看结果：

文件->Generate Code 导出代码