氦原子的定态薛定谔方程是啥？

Question

我正在解决谐波势和初始高斯波函数下时间依赖的薛定谔方程的演化。处理hcut=1和2m=1，并在实部和虚部中分离波函数，根据实部和虚部分别得到两个耦合方程，分别称为yr和yc。

xrange是[xi,xf] trange是[0,tf]

我使用的方法是：

首先在实部和虚部中分离波函数，即yr（x，t）和yc（x，t）。然后处理hcut = 2m = 1，并将波函数写为yr[x,t]+i*yc[x,t]，我们从TDSE得到两个耦合方程。

1.D[yr[x,t],t]=-D[yc[x,t],x,x]+V[x]*yc[x,t]
2.D[yc[x,t],t]=D[yc[x,t],x,x]-V[x]*yc[x,t]

然后我将初始波函数指定为

yr[x,0]=exp[-x^2]
yc[x,0]=0

之后，使用有限差分格式，我试图从y [x，0]找到y [x，t]，即，

yr[x,t+d]=yr[x,t]+d*D[yr[x,t],t]
        =yr[x,t]+d*(D[yc[x,t],x,x]+V[x]*yc[x,t])

在代码中索引为“a”，在复杂部分索引为“b”。

y[x[i],t[j]]的值存储为y[i,j]，因为数组不能具有实数索引。

我使用的代码如下：

    function v(x) result(s)
    real::s,x
    s=x**2
    end function v

    real::t(10000),x(10000),yc(10000,10000),yr(10000,10000),tf,xi,xf,d
    integer::i,j,k,l,m,n,time
    write(*,*) "time of plot divided by step size"
    read(*,*) time

    tf=50
    xi=-10
    xf=10
    d=0.01
    x(1)=xi
    t(1)=0

    i=1
    do while(x(i).lt.xf)        !input all values of x in x(i) array
    x(i+1)=x(i)+d
    i=i+1
    end do

    n=1
    do while(t(n).lt.tf)        !input all values of t in t(i) array
    t(n+1)=t(n)+d
    n=n+1
    end do




    do j=1,i
    yr(j,1)=exp(-(x(j)-5)**2)       !input of initial wavefunction    
    yc(j,1)=0
    end do

    !calculation of wavefunction at higher time using finite element technique[y[x,t+d]=y[x]+d*D[y[x,t],t] and then replacing the partial derivative with time 
    !using equation 1 and 2 .

    l=1
    do while(l.le.i-2)
    k=1
         do while(t(k).lt.tf)
            yr(l,k+1)=yr(l,k)-(yc(l+2,k)-2*yc(l+1,k)+yc(l,k))/d&    
            +v(x(l))*yc(l,k)*d                                                                             

            yc(l,k+1)=yc(l,k)+(yr(l+2,k)-2*yr(l+1,k)+yr(l,k))/d&   
            -v(x(l))*yr(l,k)*d

            k=k+1

         end do
    l=l+1
    end do




    open(1,file="q.dat")
    do m=1,i-2
    write(1,*) x(m),(yr(m,time))**2+(yc(m,time))**2
    end do
    close(1)

    end

预期结果：y（x，t）^ 2 = yr（x，t）^ 2 + yc（x，t）^ 2

错误：波函数没有保持规律，只有t=0.05或0.06后，波函数变大，最大值变为e30的数量级，尽管高斯形状几乎保持不变，正如预期的那样，只有0.05秒已经过去了。

氦原子的定态薛定谔方程是啥？

时间依赖的薛定谔方程奇偶解