拉格朗日插值公式

Posted 2023-03-16

参考技术A

拉格朗日插值公式如下：

拉格朗日插值公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。

拉格朗日插值证明过程：

证明:先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。

当n=1n=1时，常函数(0次)P1(x)=y1P1(x)=y1即符合要求。假设当n−1n−1时存在一个次数≤n−2≤n−2的多项式Pn−1Pn−1,使得Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1。

则令Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)，其中cc为待定系数，利用Pn(xn)=ynPn(xn)=yn即可求出待定系数cc。

此时，Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,且Pn(x)Pn(x)的次数≤n−1≤n−1.这样就证明了存在性。

其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为P(x)P(x)和Q(x)Q(x)，它们次数≤n−1≤n−1且都插值经过nn个点，即P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n。

令H(x)=P(x)−Q(x)H(x)=P(x)−Q(x),HH的次数也≤n−1≤n−1，且有nn个不同的根x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn。

因此，由多项式基本定理可知，H(x)H(x)为0多项式，即恒等于0，故有P(x)=Q(x)P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。

插值余项：

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。