拉格朗日插值Python代码实现

Posted 2020-09-19

1. 数学原理

对某个多项式函数有已知的k+1个点，假设任意两个不同的都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

　　其中每个l_j(x)为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

 

2. 轻量级实现

 利用

直接编写程序，可以直接插值，并且得到对应的函数值。但是不能得到系数，也不能对其进行各项运算。

def h(x,y,a):
    ans=0.0 
    for i in range(len(y)):
        t=y[i]
        for j in range(len(y)):
            if i !=j:
                t*=(a-x[j])/(x[i]-x[j])
        ans +=t
    return ans
x=[1,0]
y=[0,2]
print(h(x,y,2))

　上述代码中，h(x,y,a)就是插值函数，直接调用就行。参数说明如下：

• x,y分别是对应点的x值和y值。具体详解下解释。
• a为想要取得的函数的值。

事实上，最简单的拉格朗日插值就是两点式得到的一条直线。

例如：

p点(1,0)q点(0,2)

这两个点决定了一条直线，所以当x=2的时候，y应该是-2

该代码就是利用这两个点插值，然后a作为x=2调用函数验证的。

3. 引用库

3.1 库的安装

主要依赖与 scipy。官方网站见：https://www.scipy.org/install.html

安装的方法很简单，就是使用pip install scipy 如果失败，则将whl文件下载到本地再利用命令进行安装。

可能如果没有安装numpy

3.2 库的使用

from scipy.interplotate import lagrange

直接调用lagrange(x,y)这个函数即可，返回 一个对象。

参数x,y分别是对应各个点的x值和y值。

例如：(1,2) (3,5) (5,9)这三个点，作为函数输入应该这么写：

ｘ＝[1,3,5]

y =[2, 5, 9]

a=lagrange(x,y)

直接输出该对象，就能看到插值的函数。

利用该对象，能得到很多特性。具体参见：https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.12.0/reference/generated/numpy.poly1d.html

• a.order得到阶
• a[]得到系数
• a()得到对应函数值
• 此外可以对其进行加减乘除运算

3.3 代码实现

from scipy.interpolate import lagrange
x=[1,2,3,4,7]
y=[5,7,10,3,9]
a=lagrange(x,y)
print(a)
print(a(1),a(2),a(3))
print(a[0],a[2],a[3])

结果是：

<class ‘numpy.lib.polynomial.poly1d‘> 4
            4            3              2
0.5472 x - 7.306 x + 30.65 x - 47.03 x + 28.13
5.0 7.0 10.0
28.1333333333 30.6527777778 -7.30555555556

解释：

<class ‘numpy.lib.polynomial.poly1d‘> 4

这一行是输出a的类型，以及最高次幂。

              4            3              2
0.5472 x - 7.306 x + 30.65 x - 47.03 x + 28.13

第二行和第三行就是插值的结果，显示出的函数。

第二行的数字是对应下午的x的幂，如果对应不齐，则是排版问题。

5.0 7.0 10.0

第四行是代入的x值，得到的结果。

也就是说，用小括号f(x)的这种形式，可以直接得到计算结果。

28.1333333333 30.6527777778 -7.30555555556

最后一行是提取出的系数。也就是说，可以用f[a]这种形式，来提取出来对应幂的系数。