正则化小结

Posted 2022-11-25 栋次大次

正则化

• • • L1
    • L2
    • batchnorm
    • layernorm
    • dropout
    • 过拟合 欠拟合 防止的方法

L1

L1正则项就是一个L1范数，相当于为模型添加了一个先验知识：w服从零均值拉普拉斯分布。

$J=J_0+\alpha {\sum }_w|w|$

增加了对所有权重w参数的绝对值之和，迫使更多的w为零，使得产生稀疏模型。

L2

$J=J_0+\alpha {\sum }_w{w}^2$

增加所有权重w参数的平方之和，迫使w尽可能趋向于零但不为零（L2的导师趋于零）。

L2正则化和过拟合的关系：

拟合过程通常都倾向于让权值尽可能的小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。（若参数很大，那么只要数据偏移一点，就会对结果造成很大的影响，如果参数小，抗扰动能力强）

不用L0正则化的原因：

根据上边的讨论，系数参数可以防止过拟合，因此用L0范数（非零参数的个数）正则项可以防止过拟合。

但具体中，L0正则项很难求解，是个NP难问题。

不正则化参数b的原因：

如果对b进行惩罚，其实作用不大，因为在输出结果的贡献中，参数b对于输入的改变时不敏感的，参数b只是加了偏置。w会对不同的数据产生不一样的加权。

稀疏：对于模型，指的是参数有较少的非零值，其作用有：

1. 去掉冗余特征，使模型更简单，防止过拟合
2. 降低运算量，防止维度爆炸。

batchnorm

随着深度神经网络多层的叠加，每一层的参数更新会导致上层的输入数据分布发生变化，层层叠加导致高层的输入分布变化会非常剧烈，使得高层需要不断去重新适应底层的参数更新。

随着网络加深，参数分布不断往激活函数两端移动（梯度变小），导致反向传播出现梯度消失，收敛困难。

原理：在每层激活函数前，加入BN，将参数重新拉回0-1正太分布，加速收敛。

理想情况下，normalization的均值和方差应当是整个数据集，但为了简化计算，就采用mini_batch的操作。机器学习中的白话(eg. PCA)也可以起到规范化分布的作用，但是计算成本过高。

BN最后一步是缩放操作，加入两个学习参数，用于保持模型的表达能力。（不加缩放，每层学习的特征都被归一化为标准的正太分布，降低模型的表达能力）。

训练和测试：测试时均值和方差不再用每个mini-batch来代替，而是训练过程中记录下每个batch的均值和方差，训练完成后计算整体均值和方差用于测试。可学习参数固定。

四种主流的normalization：

• batch normalization：纵向规范化
• layer normalization：对于单个样本
• weight normalization：对于参数
• cosine normalization：余弦规范化，同时考虑参数和数据

BN对于Relu是否有效？

有效。学习率稍微设置大一点，Relu函数就会落入负区间，神经元无法激活，导致dead relu问题。BN可以将数据分布拉回来。

多卡同步

原因：对于BN来说，用batch的均值和方差来估计全局的均值和方差，但因此batch越大越好，但一张卡容量有效，过小batch起不到bn的归一化效果。

原理：利用多卡同步，单卡计算后，多卡之间通信计算出整体的均值和方差，用于bn计算，等同于batchsize大小。

2次同步？第一次同步获得全局均值，然后第二次计算全局方差。

1次同步？一次传递完成，计算出全局均值和方差。

总结：

• 加入Bn可以放心调参，较大的学习率可以提高学习速度
• Bn降低了数据之间的绝对差异，有一个去相关的性质，更多的考虑从相对差异性，因此在分类任务上有更好的效果。

layernorm

LN通常用在RNN网络，RNN可以展开成一个隐藏层共享参数的MLP，随着时间片的增多，展开后的MLP的层数也在增多，最终层数由输入数据的时间片数量决定。

在一个batch中，各个样本长度不同（针对时序数据：语音等），在后边的时间片，只有一个样本还有数据，基于这个样本的统计信息不能反映全局分布，所以这时BN的效果不好。

设 $H$ 是一层中隐层节点的数量， $l$ 是层数，我们可以计算LN的归一化统计量 $\mu$ 和 $\sigma$ :
$${\mu }^l=\frac{1}{H}\sum _{i=1}^H{a}_i^l{\sigma }^l=\sqrt{\frac{1}{H}\sum _{i=1}^H{\left(a_i^l-{\mu }^l\right)}^2}$$
注意上面统计量的计算是和样本数量没有关系的，它的数量只取决于隐层节点的数量，所以只要隐层节点的数量足够多，我们就能保证 $LN$ 的归一化统计量足够具有代表性。通过 ${\mu }^l$ 和 ${\sigma }^l$ 可以得 到归一化后的值 ${\hat{a}}^l$ :
$${\hat{\mathbf{a}}}^l=\frac{{\mathbf{a}}^l-{\mu }^l}{\sqrt{{\left({\sigma }^l\right)}^2+ϵ}}$$
其中 $ϵ$ 是一个很小的小数，防止除 0 (论文中忽略了这个参数)。
在LN中我们也需要一组参数来保证归一化操作不会破坏之前的信息，在LN中这组参数叫做增益 (gain) $g$ 和偏置 (bias) $b$ (等同于BN中的 $\gamma$ 和 $\beta$ ) 。假设激活函数为 $f$ ，最终LN的输 出为:
$${\mathbf{h}}^l=f\left({\mathbf{g}}^l\odot {\hat{\mathbf{a}}}^l+{\mathbf{b}}^l\right)$$

https://zhuanlan.zhihu.com/p/54530247
https://www.jianshu.com/p/91b54246b51c

dropout

减轻过拟合。（相当于间接的多模型 ）

原理：前向传播时按照概率p随机关闭神经元。在本次反向传播时，只更新未关闭的神经元。下次训练时恢复，重复两个操作。

训练和测试

测试时需要关闭dropout，否则仍然随机关闭神经元，导致网络不稳定。

若什么都不做，会导致训练和测试结果不同。为了平衡训练和测试的差异，采取使训练和测试的输出期望相等的操作。

训练时除以p：假设一个神经元的输出激活值为a，在不使用dropout的情况下，其输出期望为a，如果使用dropout，神经元就可能有保留和关闭两种状态，把它看作一个离散型随机变量，它就符合概率论的0-1分布，其输出激活值的期望变为p*a+(1-p)*0=pa,此时若保持期望和不使用dropout时一致，需要除以p，反之测试需要乘p。

为什么可以降低过拟合？

1. ensemble效果：训练过程中每次随机关闭不同的神经元，网络结构已经发生变化，整个dropout的训练过程相当于很多不同的网络取平均，进而达到ensemble效果。
2. 减少神经元之间复杂的共适应性关系：dropout导致每两个神经元不一定每一次都出现在网络中，减轻神经元之间的依赖关系，迫使网络无法关注特殊情况，而只能学习一些更加鲁棒的特征。

BN和dropout共同使用出现的问题：

dropout为了平衡训练和测试之间的差异，会通过随机失活对的概率来对神经元进行缩放，进而会改变方差。如果再加一层BN，又会将方差拉回(0,1)分布，进而产生冲突。

处理方法：

1. 始终将dropout放在BN后
2. 使用高斯Dropout

过拟合 欠拟合 防止的方法

欠拟合：模型复杂度低，在训练集上表现就很差，一般刚开始训练是欠拟合。

措施：增加网络的复杂度或者在模型中增加特征

过拟合：训练误差和测试误差之间差距太大。模型过于复杂，过度拟合训练集，泛化能力差。

原因：1. 训练数据样本单一，样本不足。2. 训练数据中噪声干扰过大。噪声指训练数据中的干扰数据，过多的干扰会导致记录了很多噪声特征，忽略了真实输入和输出之间的关系。3. 模型过于复杂。

措施：

1. 数据增强（结果过拟合的根本性方法）

2. 控制模型的复杂度，选择合适的模型

3. 降低特征的数量，删除冗余特征。

4. L1和L2正则化

5. dropout

6. 提前终止训练。为什么能防止？开始迭代，w的值会变得越来越大，到后边会很大，所以提前终止，就是在中间点停止迭代，将会得到一个合适的值，于L2的效果相似。

   缺点：没有采取不同的方式来解决优化损失函数和过拟合这两个问题。考虑的东西变得复杂，停止了优化，可能会发现算是函数的值不够小，同时又不希望过拟合。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/356298455

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