牛客练习赛100 A.小红的小桃子(exgcd)

Posted 2022-08-13 Harris-H

牛客练习赛100 A.小红的小桃子(exgcd)

显然是扩展欧几里得裸题，求最小非负正整数解。

// Problem: 小红的小桃子
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11251/A
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2022-08-10 13:12:13
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = 402653189,805306457,1610612741,998244353;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n)
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 

template <typename T>		//x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y)
	if(x<y) x=y;

template <typename T>
void cmn(T &x,T y)
	if(x>y) x=y;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
	//ax+by=1
	if(!b)
		x=1,y=0;
		return;
	
	exgcd(b,a%b,y,x); 
	y-=(a/b)*x;

int main()
	int a,b,s;
	cin>>a>>b>>s;
	int g = __gcd(a,b);
	if(s%g)
		return puts("-1"),0;
	
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
    x*=(s/g);
	y*=(s/g);
	int u =b/g;
    x=(x%u+u)%u;
    y = (s-a*x)/b;
    if(y < 0) printf("-1\\n");
	else printf("%d %d\\n",x,y);
	return 0;

注意这里需要先$x=x\times \frac{s}{g},y=y\times \frac{s}{g}$ 再取模。

不能先取模再乘。

因为此时的$x,y$是针对$=g$的解，你先取模，得到其实是$ax+by=g$ 关于$x$的非负解，它的非负解与$ax+by=s$的非负解没有线性关系，因此不能先取模。
而是要先等式同时乘法。

求得$ax+by=g$之后。

等式左右两边同时乘以$\frac{s}{g}$

$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=s$

然后$u=\frac{b}{g}$

$a(x^{\prime }+\frac{b}{g}t)+b(y^{\prime }-\frac{a}{g}t)=s$

因此$x^{\prime }=(x^{\prime }(\mathrm{mod}u)+u)(\mathrm{mod}u)$ 即可得到$x^{\prime }$的最小非负整数解。