在有向无环图中求最长路径
Posted FserSuN
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了在有向无环图中求最长路径相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
原文地址:http://www.geeksforgeeks.org/find-longest-path-directed-acyclic-graph/
给定一个带权有向无环图及源点S,在图中找出从S出发到图中其它所有顶点的最长距离。
对于一般的图,求最长路径并不向最短路径那样容易,因为最长路径并没有最优子结构的属性。实际上求最长路径属于NP-Hard问题。然而,对于有向无
环图,最长路径问题有线性时间的解。思路与通过使用拓扑排序在线性时间求最短路径[1]一样。
首先初始化到所有顶点的距离为负无穷大,到源点的距离为0,然后找出拓扑序。图的拓扑排序代表一个图的线性顺序。(图b是图a的一个线性表示)。
当找到拓扑序后,逐个处理拓扑序中的所有顶点。对于每个被处理的顶点,通过使用当前顶点来更新到它的邻接点的距离。
图(b)中,到点s的距离初始化为0,到其它点的距离初始化为负无穷大,而图(b)中的边表示图(a)中边的权值。
图(c)中,求得从s到r的距离为负无穷。
图(d)中,求得s到t的最长距离为2,到x的最长距离为6。
图(e)至图(h)依次求得可达点间的最长距离。
下面是寻找最长路径的算法
- 初始化 dist[] = NINF, NINF, …. ,dist[s] = 0 。s是源点,NINF表示负无穷。dist表示源点到其它点的最长距离。
- 建立所有顶点的拓扑序列。
- 对拓扑序列中的每个顶点u执行下面算法。
下面是C++的实现。
// A C++ program to find single source longest distances in a DAG
#include <iostream>
#include <list>
#include <stack>
#include <limits.h>
#define NINF INT_MIN
using namespace std;
//图通过邻接表来描述。邻接表中的每个顶点包含所连接的顶点的数据,以及边的权值。
class AdjListNode
int v;
int weight;
public:
AdjListNode(int _v, int _w) v = _v; weight = _w;
int getV() return v;
int getWeight() return weight;
;
// Class to represent a graph using adjacency list representation
class Graph
int V; // No. of vertices’
// Pointer to an array containing adjacency lists
list<AdjListNode> *adj;
// A function used by longestPath
void topologicalSortUtil(int v, bool visited[], stack<int> &Stack);
public:
Graph(int V); // Constructor
// function to add an edge to graph
void addEdge(int u, int v, int weight);
// Finds longest distances from given source vertex
void longestPath(int s);
;
Graph::Graph(int V) // Constructor
this->V = V;
adj = new list<AdjListNode>[V];
void Graph::addEdge(int u, int v, int weight)
AdjListNode node(v, weight);
adj[u].push_back(node); // Add v to u’s list
// 通过递归求出拓扑序列. 详细描述,可参考下面的链接。
// http://www.geeksforgeeks.org/topological-sorting/
void Graph::topologicalSortUtil(int v, bool visited[], stack<int> &Stack)
// 标记当前顶点为已访问
visited[v] = true;
// 对所有邻接点执行递归调用
list<AdjListNode>::iterator i;
for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)
AdjListNode node = *i;
if (!visited[node.getV()])
topologicalSortUtil(node.getV(), visited, Stack);
// 当某个点没有邻接点时,递归结束,将该点存入栈中。
Stack.push(v);
// 根据传入的顶点,求出到到其它点的最长路径. longestPath使用了
// topologicalSortUtil() 方法获得顶点的拓扑序。
void Graph::longestPath(int s)
stack<int> Stack;
int dist[V];
// 标记所有的顶点为未访问
bool *visited = new bool[V];
for (int i = 0; i < V; i++)
visited[i] = false;
// 对每个顶点调用topologicalSortUtil,最终求出图的拓扑序列存入到Stack中。
for (int i = 0; i < V; i++)
if (visited[i] == false)
topologicalSortUtil(i, visited, Stack);
//初始化到所有顶点的距离为负无穷
//到源点的距离为0
for (int i = 0; i < V; i++)
dist[i] = NINF;
dist[s] = 0;
// 处理拓扑序列中的点
while (Stack.empty() == false)
//取出拓扑序列中的第一个点
int u = Stack.top();
Stack.pop();
// 更新到所有邻接点的距离
list<AdjListNode>::iterator i;
if (dist[u] != NINF)
for (i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i)
if (dist[i->getV()] < dist[u] + i->getWeight())
dist[i->getV()] = dist[u] + i->getWeight();
// 打印最长路径
for (int i = 0; i < V; i++)
(dist[i] == NINF)? cout << "INF ": cout << dist[i] << " ";
// Driver program to test above functions
int main()
// Create a graph given in the above diagram. Here vertex numbers are
// 0, 1, 2, 3, 4, 5 with following mappings:
// 0=r, 1=s, 2=t, 3=x, 4=y, 5=z
Graph g(6);
g.addEdge(0, 1, 5);
g.addEdge(0, 2, 3);
g.addEdge(1, 3, 6);
g.addEdge(1, 2, 2);
g.addEdge(2, 4, 4);
g.addEdge(2, 5, 2);
g.addEdge(2, 3, 7);
g.addEdge(3, 5, 1);
g.addEdge(3, 4, -1);
g.addEdge(4, 5, -2);
int s = 1;
cout << "Following are longest distances from source vertex " << s <<" \\n";
g.longestPath(s);
return 0;
输出结果:
从源点1到其它顶点的最长距离
INF 0 2 9 8 10
时间复杂度:拓扑排序的时间复杂度是O(V+E).求出拓扑顺序后,对于每个顶点,通过循环找出所有邻接点,时间复杂度为O(E)。所以内部循环运行O(V+E)次。 因此算法总的时间复杂度为O(V+E)。
[1] http://www.geeksforgeeks.org/shortest-path-for-directed-acyclic-graphs/
以上是关于在有向无环图中求最长路径的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章