有向无环图中的最小路径覆盖

Posted 2023-02-22

【中文标题】有向无环图中的最小路径覆盖

【英文标题】：Minimum path cover in directed acyclic graph

【发布时间】：2012-05-28 10:56:17

【问题描述】：

我在这里要问的问题已经在堆栈溢出中被问过了。 但我无法正确理解 Skiminok 发布的解决方案。

这里是Link .

我用给定的两个示例测试用例尝试了上面链接上发布的解决方案，但我无法得到正确的答案。

对于测试用例1::

N=3 和 K=2

5 4 7

DAG 将是::

注意：我已经构建了上述 DAG 考虑：

设 pi 和 pj 是两个不同的问题。然后我们将画一条从 pi 到 pj 的有向边当且仅当 pj 可以在同一天连续地在 pi 之后直接求解。即必须满足以下条件：

i

|vi - vj| >= K（评级要求）。

然后我构建了二分图考虑::

对于原始 DAG 的每条有向边 (u, v)，应在二分图中添加一条无向边 (au, bv)，其中 ai 和 bi 是大小为 n 的两个部分。

答案=上面二分图中的最大基数匹配。

上述二部图中的最大基数匹配=1（绿色egde）

但答案是 2。

类似的示例测试用例 2：

5 1

5 3 4 5 6

上图中的最大基数是 MORE THAN ONE，但正确答案是 1。

我认为我没有正确实现它，请你告诉我哪里出错了或者有没有其他方法

谢谢！

【参考方案1】：

我自己找到了答案， 第二天我发布了这个问题。

我的解决方案通过了所有测试用例。

我在最后一步犯了错误。 实际上答案/解决方案是 SET B 中不包含最大二分匹配边缘的顶点总数。

以示例测试用例 1 为例::

最大匹配 M=(1A,3B)。

最大匹配的边没有发生在两个顶点（顶点1和顶点2）上。所以答案等于这样的顶点数=2

对于测试用例 2::

最大匹配 M=(1A,2B),(2A,3B),(3A,4B),(4A,5B)。

最大匹配的边没有发生在一个顶点（顶点1）上。所以答案等于1