使用 BFS/DFS 寻找有向无环图中权重最大的路径

Posted 2023-02-22

【中文标题】使用 BFS/DFS 寻找有向无环图中权重最大的路径

【英文标题】：Using BFS/DFS To Find Path With Maximum Weight in Directed Acyclic Graph

【发布时间】：2019-09-28 00:05:03

【问题描述】：

您有一辆 2005 年的本田雅阁，油箱中还剩 50 英里（最大重量）。您可以在 50 英里半径范围内访问哪些麦当劳位置（图形节点）？这是我的问题。

如果您有一个加权有向无环图，您如何找到在给定权重限制内可以访问的所有节点？

我知道 Dijkstra 的算法，但除了最小路径问题之外，我似乎找不到任何关于其使用的文档。在我的示例中，没有特别要结束的节点，我们只想在不超过最大权重的情况下尽可能多地走。似乎您应该能够使用 BFS/DFS 来解决这个问题，但是我找不到在具有边权重的图中实现这些的文档（同样，在最小路径问题之外）。

【参考方案1】：

可以使用拓扑排序来找到到顶点 V（在本例中为麦当劳）的最长路径。我们可以从拓扑排序我们的节点开始，因为拓扑排序总是会返回源节点 U，在加权路径的端点 V 之前。然后，由于我们现在可以访问一个数组，其中每个源顶点都在其所有相邻顶点之前，我们可以搜索从顶点 U 开始并以顶点 V 结束的每条路径，并在数组中设置一个值，其索引对应于U 到我们发现的连接 U 到 V 的最大边权重。如果最大距离的总和超过 50 没有到达麦当劳，我们可以回溯并探索从 U 到 V 的第二高权重路径，如果我们用尽每一个从顶点 U 退出的路径。最终我们将到达一个麦当劳，这将是与我们原始源节点的最大距离同时保持总跨越距离小于 50 的麦当劳。

【参考方案2】：

对于这个问题，您需要从起始节点运行 DFS。从起始节点的每个子节点向下递归，直到总权重超过 50。如果沿着遍历记录遇到麦当劳，则在列表或集合中到达节点。通过这样做，您将获得最有效的算法，因为您不必像该问题的其他答案所建议的那样创建完整的拓扑排序。尽管该算法在技术上仍然在 O(ElogV) 时间内运行，但通过在达到超过 50 的路径距离时在 DFS 上递归，您可以避免在不必要时遍历整个图。